Решить в рациональных числах

[rightways]

Решите в рациональных числах уравнение

$x^2=y^5+64$

[fibonacci]

Может поможеть $mod11$ ?!

[Sonic86]

fibonacci в сообщении #877878 писал(а):

Может поможеть $mod11$ ?!

$(8;0)$ - решение данного уравнения. Оно опускается до решения сравнения $x^2\equiv y^5+64 \pmod m$ для любого $m$.

[marij]

Путем анализа по $\mod 16$ обнаружилось что $x=16k+8$ откуда $y=4m$ и следовательно остается решить уравнение $k(k+1)=4m^5 $ которое в свою очередь дает $v^5 -4u^5=1$ или$-1$. Далее застрял

[dmd]

А как доказать, что других рациональных решений, кроме $(8,0)$, нет?

И да, удивительно неожиданное свойство $11\mid y$. Интересно, будет ли оно использовано в доказательстве?