Показательные уравнения и неравенства

[Qazed]

Здравствуйте, прошу помочь с решением показательных уравнений и неравенств (не буду плодить много тем, тут буду спрашивать только о простых)

$$ |x-3|^{x^2-x} = (x-3)^2 \Longleftrightarrow \left[ \begin{matrix} x = -1\\ x = 2\\ x = 4 \end{matrix} \right.$$

Автор задачи рассматривает случаи $|x-3| = 1$ и $x^2 - x = 2$, но не рассматривает случай $|x - 3| =0$, т. е. $x=3$. Как по вашему должен выглядеть ответ?

[ewert]

Qazed в сообщении #880884 писал(а):

но не рассматривает случай $|x - 3| =0$,

Дело в том, что вещественность показателя подразумевает, что речь слева идёт о показательной именно функции. Которая при нулевом основании просто не определена.

[Qazed]

В данном же случае просят решить уравнение, т. е. всё по-честному:

$$0^6 = 0^2$$

[Foxer]

Qazed в сообщении #880918 писал(а):

В данном же случае просят решить уравнение, т. е. всё по-честному:

$$0^6 = 0^2$$

Это философский вопрос. Считаете, что решили правильно - значит автор учебника ошибся, точка.

[ewert]

Qazed в сообщении #880918 писал(а):

В данном же случае просят решить уравнение, т. е. всё по-честному:

$$0^6 = 0^2$$

Нет, так нечестно. В левой части допускаются показатели отнюдь не только шестёрки, но и произвольные вещественные, и даже (тихий ужас) нулевые. Соответственно, в область допустимых значений уравнения нулевые основания не попадают.

[ShMaxG]

ewert в сообщении #881130 писал(а):

Соответственно, в область допустимых значений уравнения нулевые основания не попадают.

Обоснуйте. Вот когда в показателе, скажем, стоит 0 или отрицательное число, то да, в основании одновременно 0 стоять не может. Но когда в показателе стоит целое положительное число, то основание может быть и нулевым. Если в задании не идет речь о показательных функциях, то, я считаю, раз подстановка $x=3$ приводит к верному равенству, значит это решение.

[ewert]

ShMaxG в сообщении #881535 писал(а):

Если в задании не идет речь о показательных функциях,

Идёт. Просто потому, что показатель вещественен. И, следовательно, задача осмысленна лишь в том случае, если подразумевалась показательная функция.

Хотя... Можно, конечно, в условии задачи перебрать и все возможные случаи, в которых это выражение интерпретируется каким-то специальным образом. Попробуйте задачку переформулировать в этом духе. Трёх страниц Вам на это хватит?...

[mihailm]

Ничего философского, как и показательных функций в уравнении нету. Согласно школьной программе ноль корень.

[ShMaxG]

ewert в сообщении #881563 писал(а):

Просто потому, что показатель вещественен. И, следовательно, задача осмысленна лишь в том случае, если подразумевалась показательная функция.

Вот мне и не ясно это "следовательно". Равенство обращается в верное при подстановке значения $x=3$, значит это решение, по определению. При чем тут понятие показательной функции?

Смотрите. Вот есть степень, с основанием и показателем. Показатель может принимать нецелые значения. Отсюда вы делаете вывод, что для осмысленности задачи основание не может быть равно нулю ни в каком случае, даже когда в показателе -- целое число. Другими словами, вы так выбираете область значений основания, чтобы возведение в степень стало возможным при любом значении показателя. Но на мой взгляд, это какое-то дополнительное условие/ограничение, логически оно ниоткуда не следует.

-- Вс июн 29, 2014 01:55:48 --

ewert в сообщении #881563 писал(а):

Можно, конечно, в условии задачи перебрать и все возможные случаи, в которых это выражение интерпретируется каким-то специальным образом. Попробуйте задачку переформулировать в этом духе. Трёх страниц Вам на это хватит?...

Вот область определения функции в левой части, как я ее вижу:

$$\[\left[ \begin{gathered} {x^2} - x \in {\mathbb{Z}_ + } \hfill \\ \left\{ \begin{gathered} {x^2} - x \notin {\mathbb{Z}_ + } \hfill \\ x \ne 3 \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \end{gathered} \right.\]$$

При любых таких иксах выражение осмысленно. Действительно, либо мы возводим какое-то число (пусть даже 0) в целую положительную степень (вполне осмысленно), либо в другую степень -- и вот тут-то можно вспомнить про показательную функцию, причем тут все корректно, так как основание не равно нулю.

[Nemiroff]

ТС, откуда задача?

ewert в сообщении #881563 писал(а):

Идёт. Просто потому, что показатель вещественен. И, следовательно, задача осмысленна лишь в том случае, если подразумевалась показательная функция.

Я уже на примере темы с коммутативностью умножения понял, что на любое дебильное утверждение найдётся (псевдо)корректный способ его обоснования (что более удивительно --- желающий это обоснование делать).

[Qazed]

Спасибо, для себя я решил, что $x = 3$ является решением, несмотря на какую-то «философию» понятия «уравнение»