гамма_5

[bayak]

Про то, что левый и правый спинор получается умножением полуразности (полусуммы) единичной и пятой гамма-матрицы на биспинор, хорошо известно. Но у пятой гамма-матрицы есть ещё одно замечательное свойство, благодаря которому алгебра Дирака индуцирует метрику в 8-мерном пространстве. В самом деле, поскольку
$\begin{equation*} \gamma_{5}\cdot \gamma_{\alpha} + \gamma_{\alpha}\cdot \gamma_{5} = 0, \end{equation*}$
где $\alpha = 0,1,2,3$, $\gamma_{5}= i\gamma_0 \gamma_1 \gamma_2 \gamma_3$,
то в 8-мерном линейном пространстве
$\begin{equation*} \left\langle \gamma_{0}, \gamma_{1}, \gamma_{2}, \gamma_{3},\gamma_5\gamma_{0}, \gamma_5\gamma_{1}, \gamma_5\gamma_{2}, \gamma_5\gamma_{3}\right\rangle_{\mathbb{R}} = \\ = t\gamma_{0} + x\gamma_{1} + y\gamma_{2} + z\gamma_{3} + t^*\gamma_5\gamma_{0} + x^*\gamma_5\gamma_{1} + y^*\gamma_5\gamma_{2} + z^*\gamma_5\gamma_{3} \end{equation*} $
квадратом:
$\begin{equation*} \left(t\gamma_{0} + x\gamma_{1} + y\gamma_{2} + z\gamma_{3} + t^*\gamma_5\gamma_{0} + x^*\gamma_5\gamma_{1} + y^*\gamma_5\gamma_{2} + z^*\gamma_5\gamma_{3}\right)^2 = \\ = (t^2-x^2-y^2-z^2-t^{*2}+x^{*2}+y^{*2}+z^{*2}) E, \end{equation*}$
где $E$ --- единичная матрица,
индуцируется квадратичная метрическая форма
$\begin{equation*} S^{2}= t^2-x^2-y^2-z^2-t^{*2}+x^{*2}+y^{*2}+z^{*2} \end{equation*}$
пространства $^{4}\mathbb{R}_{8}$.

К чему это приводит можно посмотреть здесь

[bayak]

Попробую немного оживить тему.

Пусть, заменой переменных:
$\begin{equation*} \begin{cases} T=t+t^*,&\varphi_{T}=t-t^*,\\ X=x+x^*,&\varphi_{X}=x-x^*,\\ Y=y+y^*,&\varphi_{Y}=y-y^*,\\ Z=z+z^*,&\varphi_{Z}=z-z^*, \end{cases} \end{equation*}$
эта квадратичная форма приводится к гиперболическому виду:
$\begin{equation*} S^{2}= T\varphi_{T} - X\varphi_{X} - Y\varphi_{Y} - Z\varphi_{Z}. \end{equation*}$
В таком случае, координаты $\left(X,\varphi_{X}, Y,\varphi_{Y},Z, \varphi_{Z}, T, \varphi_{T}\right)$ являются изотропными координатами пространства $^{4}\mathbb{R}_{8}$.

Заметим при этом, что с точки зрения математического моделирования физических явлений, пространство $^{4}\mathbb{R}_{8}$ интересно по двум причинам. Во-первых, длину пути, пройденного в пространстве $^{4}\mathbb{R}_{8}$, можно сопоставить с действием материальной точки на интервале мировой линии пространства Минковского $^{3}\mathbb{R}_{4}$, полученной ортогональным проектированием траектории из $^{4}\mathbb{R}_{8}$ в $^{3}\mathbb{R}_{4}$. Во-вторых, если в пространстве $^{4}\mathbb{R}_{8}$ подпространство Минковского $^{3}\mathbb{R}_{4}$ задано не глобально (единым базисом), а лишь локально (репером 4-мерного многообразия, вложенного в $^{4}\mathbb{R}_{8}$), то можно определить ковариантную производную векторного поля касательных к траектории в $^{4}\mathbb{R}_{8}$ вдоль соответствующей ей мировой линии многообразия как ортогональную проекцию производной этого поля на данное многообразие. При этом, задание метрической и калибровочных связностей можно связать с потоком в $^{4}\mathbb{R}_{8}$. Действительно, если разложить единичное векторное поле скоростей частичек потока $v$ на изотропные составляющие в базисе $\left(e^{X},e^{Y},e^{Z},e^{T}, e^{\varphi_{X}}, e^{\varphi_{Y}}, e^{\varphi_{Z}}, e^{\varphi_{T}} \right)$, то, полагая $e'^{T}=v_{X}e^{X}+v_{Y}e^{Y}+v_{Z}e^{Z}+v_{T}e^{T}$ и $e'^{\varphi_{T}}=v_{\varphi_{X}}e^{\varphi_{X}} + v_{\varphi_{Y}}e^{\varphi_{Y}} + v_{\varphi_{Z}}e^{\varphi_{Z}} + v_{\varphi_{T}}e^{\varphi_{T}}$, из выражений: $e'^{T}=e'^{t}+e'^{t^*}$, $e'^{\varphi_{T}}=e'^{t}-e'^{t^*}$ мы легко получим пару локальных ортов $(e'^{t}, e'^{t^*})$ для конструирования двух 4-многообразий, причем изменение компонент $v$ в базисе $(e^{X},e^{Y},e^{Z},e^{T})$, индуцирует в 4-многообразии с репером $(e'^{t}, e'^{x}, e'^{y}, e'^{z})$ метрическую связность, а изменение компонент $v$ в базисе $(e^{\varphi_{X}}, e^{\varphi_{Y}}, e^{\varphi_{Z}}, e^{\varphi_{T}})$, индуцирует в нем калибровочную связность.

[bayak]

Всё же продолжу тему.

Итак, решение с особенностью в $^{4}\mathbb{R}_{8}$, которое при удалении от нее стремится к вакуумному потенциалу, следует считать частицеподобным решением. Более того, если нас интересуют не только прямолинейные траектории таких особенностей, но и их образ на окружности, то пространство конгруенции таких траекторий особенности, может быть представлено спинорной волновой функцией:
$\begin{equation*} \begin{cases} \psi_1= \frac{z_1}{S}e^{iS},\\ \psi_2= \frac{z_2}{S}e^{iS},\\ \psi_3= \frac{z_3}{S}e^{iS},\\ \psi_4= \frac{z_4}{S}e^{iS}, \end{cases} \end{equation*}$
где $(z_1 = x+it^*, z_2 = y+iz, z_3 = x^*+it, z_4 = y^*+iz^*)$ --- это комплексификация отрезка приращения конгруенции траекторий, соответствующего вектору $(t,x,y,z,t^*,x^*,y^*,z^*)$ длины $S= \sqrt{z_1\bar{z}_1 +z_2\bar{z}_2 - z_3\bar{z}_3 -z_4\bar{z}_4}$. Заметим при этом, что волновой функции можно придать вероятностный смысл, если постулировать случайное (например, экспоненциальное) распределение длины свободного пробега особенности, т.е. прямолинейного движения особенности в $^{4}\mathbb{R}_{8}$ без изменения ее траектории. Однако не следует забывать, что в нашем случае намотка траектории особенности на окружность добавляет к длине свободного пробега фазовую составляющую, а следовательно вносит специфику в расчет матожидания этой комплексной случайной величины. Заметим также, что если выполняется неравенство $\sqrt{z_1\bar{z}_1+ z_2\bar{z}_2} \gg \sqrt{z_3\bar{z}_3 +z_4\bar{z}_4}$, то можно ограничиться двухкомпонентным спинором, описывающим симметрии на трехмерной сфере радиуса $\sqrt{z_1\bar{z}_1+ z_2\bar{z}_2}$.

[photon]

bayak, вы путаете форум с блогом. Закрыто