найти с помощью дифференциала

[Sfinx314]

Здравствуйте. Помогите разобраться. Нужно найти с помощью дифференциала приближенно $(0{,}01)^{0{,}99}$
Вот мое решение: $f(x,y)=x^y$ в точке $M_1(0{,}01; 0{,}99)$. Вспомогательная точка $M_1(0, 1)$
Для функции двух переменных $f(M_1)\approx f(M_0)+f'_x(x_0,y_0)\cdot\Delta x+f'_y(x_0,y_0)\cdot\Delta y$
тогда : $f(M_0)=0^1=0$
$f'_x = y \cdot x^{y-1}$ , $f'_y = x^y \cdot \ln x$
В точке $M_0$ частные производные равны
$f'_x = 1 \cdot 0^{1-1}=1 \cdot 0^0=?$
$f'_y = 0^1\cdot \ln0=0 \cdot -\infty=?$
Получаются для частных производных неопределенности? Что я не так делаю?

[Otta]

А Вас не смутило, что в выбранной точке не только частные производные не определены, но и сама функция?
Я бы не стала здесь задействовать функции двух переменных, ни к чему это, одной вполне должно хватить.

[ewert]

Sfinx314 в сообщении #881091 писал(а):

Что я не так делаю?

Всё так, задача действительно кривая.

Хотя если рассматривать её не как учебную, а как практическую, то оценить легко:

$(0.01)^{0.99}=0.01\cdot e^{-0.02\ln10}\approx\frac1{100}\left(1-\frac{\ln10}{50}\right).$

С относительной погрешностью порядка одной тысячной.

[bot]

Sfinx314. Вообще то частные производные в этой точке есть (просто штрих надо вешать не вообще, а вдумчиво считать именно в данной точке), но функция и в самом недифференцируема и говорить о дифференциале (это ж главная линейная часть приращения) некорректно.

Что есть $f'_x(x_0,y_0)$? Это производная функции $g(x)=f(x,y_0)$ в точке $x_0$.
Вы же считаете "производную вообще", а потом хотите подставить в результат точку. На самом деле Вы считаете вовсе не значение производной в точке, а пытаетесь посчитать предел производной в точке, что совпадает со значением производной лишь в случае её непрерывности.

[Sfinx314]

Спасибо всем.