2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу 1, 2  След.
 
 Пример функции от двух переменных
Сообщение28.06.2014, 13:23 
Аватара пользователя
Постройте пример функции двух переменных, определённой и непрерывной на $\mathbb{R}^2$, область значений которой совпадает с интервалом $(0; 1)$.

Покаамест на ум не приходит ничего путнего, кроме, может быть, вот этого:

$$f(x, y)= \begin{cases} \ \ 1-2^{-x-y-1}, & x+y\geqslant 0 \\ \ \ 2^{x+y-1}, & x+y<0 \\\end{cases}$$

Пожаалуйста, помогите решить.

 
 
 
 Re: Пример функции от двух переменных
Сообщение28.06.2014, 13:27 
Аватара пользователя
$\frac12+\frac{1}{\pi} \arctg(x)$.

 
 
 
 Re: Пример функции от двух переменных
Сообщение28.06.2014, 13:29 
Аватара пользователя
А почему бы Вам не взять функцию, фиктивно зависящую от второй переменной?
Например $$\frac{\arctg(x)}{\pi} + \frac{1}{2}$$
Условие с непрерывностью вполне так выдерживает.

 
 
 
 Re: Пример функции от двух переменных
Сообщение28.06.2014, 13:29 
Аватара пользователя
g______d в сообщении #881157 писал(а):
$\frac12+\frac{1}{\pi} \arctg(x)$.

Страанно, что втораая переменная никаак не фигурирует.

-- 28.06.2014, 13:30 --

Foxer в сообщении #881158 писал(а):
...
фиктивно зависящую
...

Это каак?

 
 
 
 Re: Пример функции от двух переменных
Сообщение28.06.2014, 13:32 
Аватара пользователя
Ktina в сообщении #881159 писал(а):
Это каак?

Ну то есть совсем независящую. Например можно считать, что $1$ не зависит ни от каких переменных, а можно считать, что это такая функция от сколь угодно большого числа переменных.
По факту же функция - некоторое отображение $f: X \rightarrow \mathbb{R}$

 
 
 
 Re: Пример функции от двух переменных
Сообщение28.06.2014, 13:33 
Аватара пользователя
Ktina в сообщении #881159 писал(а):
Страанно, что втораая переменная никаак не фигурирует.


Константа тоже функция. Ну или замените $x$ на $x+y$.

 
 
 
 Re: Пример функции от двух переменных
Сообщение28.06.2014, 13:35 
Аватара пользователя
$\frac{1}{\pi}\arcctg (x+y)$
Опоздал, ну да ладно. Вместо $x+y$ много чего можно взять, например, $x+y-y$ - отвечая на вопрос о фиктивности.

 
 
 
 Re: Пример функции от двух переменных
Сообщение28.06.2014, 13:35 
Аватара пользователя
А чем мой пример плох?

 
 
 
 Re: Пример функции от двух переменных
Сообщение28.06.2014, 13:36 
Аватара пользователя
Ktina в сообщении #881159 писал(а):
Это каак?



Так же как в Вашем примере: реальная переменная одна $x+y$. А если хочется чего поэкзотичней, так
$\frac{1}{2}+\frac{1}{\pi} \arctan (x) \arctan (y)$

 
 
 
 Re: Пример функции от двух переменных
Сообщение28.06.2014, 13:36 
Аватара пользователя
Ktina в сообщении #881166 писал(а):
А чем мой пример плох?

В нем нужно думать. А зачем думать, когда этого можно не делать?

-- 28.06.2014, 13:37 --

Red_Herring в сообщении #881167 писал(а):
Ktina в сообщении #881159 писал(а):
Это каак?



Так же как в Вашем примере: реальная переменная одна $x+y$. А если хочется чего поэкзотичней, так
$\frac{1}{2}+\frac{1}{\pi} \arctan (x) \arctan (y)$

Тогда уж делить нужно на что-то кратное $\pi^2$.
Это подтверждает мои слова о том, что если думать не нужно, то не стоит этого делать).

 
 
 
 Re: Пример функции от двух переменных
Сообщение28.06.2014, 13:38 
Аватара пользователя
Ktina в сообщении #881166 писал(а):
А чем мой пример плох?


По моему, это Вас он не устраивал. Но у Вас она не очень гладкая (скачок 2й производной), а у остальных аналитические.

 
 
 
 Re: Пример функции от двух переменных
Сообщение28.06.2014, 13:39 
Аватара пользователя
Red_Herring в сообщении #881170 писал(а):
...
Но у Вас она не очень гладкая (скачок 2й производной),
...

Но ведь непрерывная же?

 
 
 
 Re: Пример функции от двух переменных
Сообщение28.06.2014, 13:40 
Аватара пользователя
Ktina в сообщении #881171 писал(а):
Red_Herring в сообщении #881170 писал(а):
...
Но у Вас она не очень гладкая (скачок 2й производной),
...

Но ведь непрерывная же?

Композиция непрервных - непрерывная функция. В таких вещах человеку с 3к+ сообщениями на мат. форуме грех сомневаться)).

 
 
 
 Re: Пример функции от двух переменных
Сообщение28.06.2014, 13:43 
Аватара пользователя
Foxer в сообщении #881168 писал(а):
Тогда уж делить нужно на что-то кратное $\pi^2$


Ну конечно. Я хотел множитель $\sin (y)$, a в последний момент передумал.

Цитата:
Но ведь непрерывная же?

Да, и даже непрерывно дифференцируемая. Но потом захочется поглаже…

-- 28.06.2014, 05:45 --

Foxer в сообщении #881174 писал(а):
В таких вещах человеку с 3к+ сообщениями на мат. форуме грех сомневаться)).


Но не смертный :D По крайней мере не фигурирует в списке

 
 
 
 Re: Пример функции от двух переменных
Сообщение01.07.2014, 20:59 
Аватара пользователя
А, скажем, $\operatorname{th} ^2 \left( {x^2  + \sin y} \right)$ чем плох?

 
 
 [ Сообщений: 18 ]  На страницу 1, 2  След.


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group