Пример функции от двух переменных

[Ktina]

Постройте пример функции двух переменных, определённой и непрерывной на $\mathbb{R}^2$, область значений которой совпадает с интервалом $(0; 1)$.

Покаамест на ум не приходит ничего путнего, кроме, может быть, вот этого:

$$f(x, y)= \begin{cases} \ \ 1-2^{-x-y-1}, & x+y\geqslant 0 \\ \ \ 2^{x+y-1}, & x+y<0 \\\end{cases}$$

Пожаалуйста, помогите решить.

[g______d]

$\frac12+\frac{1}{\pi} \arctg(x)$.

[Foxer]

А почему бы Вам не взять функцию, фиктивно зависящую от второй переменной?
Например

$$\frac{\arctg(x)}{\pi} + \frac{1}{2}$$

Условие с непрерывностью вполне так выдерживает.

[Ktina]

g______d в сообщении #881157 писал(а):

$\frac12+\frac{1}{\pi} \arctg(x)$.

Страанно, что втораая переменная никаак не фигурирует.

-- 28.06.2014, 13:30 --

Foxer в сообщении #881158 писал(а):

...
фиктивно зависящую
...

Это каак?

[Foxer]

Ktina в сообщении #881159 писал(а):

Это каак?

Ну то есть совсем независящую. Например можно считать, что $1$ не зависит ни от каких переменных, а можно считать, что это такая функция от сколь угодно большого числа переменных.
По факту же функция - некоторое отображение $f: X \rightarrow \mathbb{R}$

[g______d]

Ktina в сообщении #881159 писал(а):

Страанно, что втораая переменная никаак не фигурирует.

Константа тоже функция. Ну или замените $x$ на $x+y$.

[bot]

$\frac{1}{\pi}\arcctg (x+y)$
Опоздал, ну да ладно. Вместо $x+y$ много чего можно взять, например, $x+y-y$ - отвечая на вопрос о фиктивности.

[Ktina]

А чем мой пример плох?

[Red_Herring]

Ktina в сообщении #881159 писал(а):

Это каак?

Так же как в Вашем примере: реальная переменная одна $x+y$. А если хочется чего поэкзотичней, так
$\frac{1}{2}+\frac{1}{\pi} \arctan (x) \arctan (y)$

[Foxer]

Ktina в сообщении #881166 писал(а):

А чем мой пример плох?

В нем нужно думать. А зачем думать, когда этого можно не делать?

-- 28.06.2014, 13:37 --

Red_Herring в сообщении #881167 писал(а):

Ktina в сообщении #881159 писал(а):

Это каак?

Так же как в Вашем примере: реальная переменная одна $x+y$. А если хочется чего поэкзотичней, так
$\frac{1}{2}+\frac{1}{\pi} \arctan (x) \arctan (y)$

Тогда уж делить нужно на что-то кратное $\pi^2$.
Это подтверждает мои слова о том, что если думать не нужно, то не стоит этого делать).

[Red_Herring]

Ktina в сообщении #881166 писал(а):

А чем мой пример плох?

По моему, это Вас он не устраивал. Но у Вас она не очень гладкая (скачок 2й производной), а у остальных аналитические.

[Ktina]

Red_Herring в сообщении #881170 писал(а):

...
Но у Вас она не очень гладкая (скачок 2й производной),
...

Но ведь непрерывная же?

[Foxer]

Ktina в сообщении #881171 писал(а):

Red_Herring в сообщении #881170 писал(а):

...
Но у Вас она не очень гладкая (скачок 2й производной),
...

Но ведь непрерывная же?

Композиция непрервных - непрерывная функция. В таких вещах человеку с 3к+ сообщениями на мат. форуме грех сомневаться)).

[Red_Herring]

Foxer в сообщении #881168 писал(а):

Тогда уж делить нужно на что-то кратное $\pi^2$

Ну конечно. Я хотел множитель $\sin (y)$, a в последний момент передумал.

Цитата:

Но ведь непрерывная же?

Да, и даже непрерывно дифференцируемая. Но потом захочется поглаже…

-- 28.06.2014, 05:45 --

Foxer в сообщении #881174 писал(а):

В таких вещах человеку с 3к+ сообщениями на мат. форуме грех сомневаться)).

Но не смертный По крайней мере не фигурирует в списке

[Утундрий]

А, скажем, $\operatorname{th} ^2 \left( {x^2 + \sin y} \right)$ чем плох?