Ряд тейлора + доказательство формулы.

[belo4ka]

1. Разложить в ряд функцию в точке $x_0=0$

$f(x)=\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \operatorname{arctg}\frac{x\sqrt{2}}{1-x^2}$

$\operatorname{arctg} x =\sum\limits^{\infty}_{n=0} \frac{(-1)^n}{2n+1} x^{2n+1}$ для всех $ \left| x \right| < 1$

$\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \operatorname{arctg}\frac{x\sqrt{2}}{1-x^2} =\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\sum\limits^{\infty}_{n=0} \frac{(-1)^n}{2n+1} \left(\frac{x\sqrt{2}}{1-x^2}\right)^{2n+1}$ для всех $ \left| \frac{x\sqrt{2}}{1-x^2} \right| < 1$

Как-то слишком просто, чтобы быть правдой. Не уж-то именно так?

2. Доказать формулу

$\int\limits_2^x \dfrac{dt}{\ln^2t}=C-\dfrac{1}{\ln x}+\ln|\ln x|+\sum\limits^{\infty}_{n=2}\dfrac{\ln^{n-1}x}{n!(n-1)}$

Тут вот что сразу пришло в голову:

$t=\ln x$

$\int\limits_2^x \dfrac{dt}{\ln^2t}=\int\limits_{\ln 2}^{\ln x} \dfrac{e^y dy}{y^2}$, а потом $\mathrm{e}^{x} = 1 + \frac{x}{1!} + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots $ можно ли так?

[ewert]

belo4ka в сообщении #880452 писал(а):

Как-то слишком просто, чтобы быть правдой.

Это не просто просто, это просто бессмысленно. Где Вы углядели у себя степенной ряд?...

[Otta]

belo4ka в сообщении #880452 писал(а):

$\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \operatorname{arctg}\frac{x\sqrt{2}}{1-x^2} =\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\sum\limits^{\infty}_{n=0} \frac{(-1)^n}{2n+1} \left(\frac{x\sqrt{2}}{1-x^2}\right)^{2n+1}$ для всех $ \left| \frac{x\sqrt{2}}{1-x^2} \right| < 1$

Вообще обычно имеется в виду ряд Маклорена, а это какое-то не оно.

belo4ka в сообщении #880452 писал(а):

можно ли так?

Можно.

[belo4ka]

А оно, которое оно - какое оно?

Можно так? Разложить в тейлора производную, а потом интегрировать?

$f'(x)=\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \operatorname{arctg}\frac{x\sqrt{2}}{1-x^2}\right)'=\dfrac{x^2+1}{x^4+1}$

$(1+x)^\alpha = 1+\sum^{\infin}_{n=1} {\alpha \choose n} x^n$

$(x^2+1)\cdot (x^2+1)^{-1}=(x^2+1)\cdot \left(1+ \sum\limits^{\infty}_{n=1} {{-1} \choose n} x^{2n}\right)$

Правда смущает в числе сочетаний отрицательное число.

[ewert]

belo4ka в сообщении #880481 писал(а):

Можно так? Разложить в тейлора производную, а потом интегрировать?

Не можно, а нужно.

belo4ka в сообщении #880481 писал(а):

Правда смущает в числе сочетаний отрицательное число.

Это потому, что Вы привыкли тупо применять формулки, которые где-то кем-то сочинены. Вместо того, чтобы вдуматься в их смысл. А если бы вдумались -- немедленно бы о них забыли бы и не менее тупо (но уже сознательно) воспользовались бы школьной формулой для суммы бесконечной геометрической прогрессии.