выборка спичек из двух коробков

[Spook]

В двух коробках лежат по $n$ спичек. На каждом шаге наугад выбирается коробок, и из него удаляется спичка. Найти вероятность $p_k$ того, что в момент опустошения одного коробка, в другом останется $k$ спичек.
Решаю так. Всего вариантов выбрать спички $2^{2n}$, выбрать $2n-k$ спичек - $C_{2n}^{2n-k}$. Значит, ответ

$$p_k = \frac{C_{2n}^{2n-k}}{2^{2n}}$$

. Правильно ли это?

[Maslov]

Если подставить $n = 1, k = 1$, по Вашей формуле какая вероятность получается?

[Spook]

$\frac{1}{2}$, что неверно. А что, если $k<n$? Хорошо было бы найти ошибку в рассуждениях.

[Maslov]

А почему Вы решили, что если произвольным способом выбрать $2n - k$ спичек из $2n$, то один коробок опустеет, а в другом останется $k$ спичек?

[Spook]

Так их всего два, в каждом изначально $n$. Раз осталось $k$, значит достали $2n-k$, т.е. один опустел. Обратно, раз один опустел, значит достали $n$ из него, а еще $n-k$ из другого.

[Maslov]

Не, Вы же утверждаете, что при любом выборе $2n - k$ спичек один коробок становится пустым, а в другом остается $k$ спичек.

Пусть $n = 2, k = 2$. Достаем $2n - k = 2$: одну из первого коробка и одну из второго; в результате в первом остается одна и во втором одна, а вовсе не две и пусто.

[Spook]

Maslov, я понял свою ошибку, попробую поправить.

[Spook]

Рассмотрим последовательности из 0 и 1 длины $2n$. Потребуем, чтобы в них было ровно $k$ единиц, притом в одной из половин. Верно ли, что таких последовательностей $2C_{n}^{k}$?

[arseniiv]

Точнее, $2C^k_n - [k = 0]$ (скобки — это нотация Айверсона — превращают истину в 1 и ложь в 0), т. к. строка из $2n$ нулей только одна.

[Spook]

arseniiv, но k не может быть равной нулю, ведь одновременное опустение невозможно. Теперь осталось посчитать общее число последовательностей. Правда, пока я не очень понял, какие именно из них нужно учитывать.

-- Чт июн 26, 2014 23:41:08 --

Раз речь идет об опустении одного из коробков, то, видимо, всего таких последовательностей $2(2^n-1)$.

[arseniiv]

Spook в сообщении #880573 писал(а):

arseniiv, но k не может быть равной нулю, ведь одновременное опустение невозможно.

Я не учитывал контекст задачи. Если запрещать $k = 0$, то кусок $[k = 0]$ нулевой, и формула, конечно, превращается в вашу.

[Spook]

arseniiv, а что скажете о последней формуле?

[arseniiv]

Сказал бы что-нибудь, да не разбирал задачу.

[Maslov]

Spook, посмотрите задачу 8.46 в книге "Грехэм, Кнут, Паташник. Конкретная математика".

[arseniiv]

Spook в сообщении #880573 писал(а):

Раз речь идет об опустении одного из коробков, то, видимо, всего таких последовательностей $2(2^n-1)$.

Давайте снова на числах. При $n=3$ это 000, 0010, 00110, 0100, 01100, 01010, 1000, 11000, 10100, 10010, 111, 1101, 11001, 1011, 10011, 10101, 0111, 00111, 01011, 01101, что явно не $2(2^3-1) = 14$.