Про Жордановы формы

[aush]

Помогите, пожалуйста, разобраться, как решать такие задачи:

Найти Жорданову форму оператора а при следующих условиях

а) хар-кий мн-н: $t^5*(t-1)^2$
минимальный мн-н: $t^2*(t-1)$
$m(a^2)=m(a)+2$
где m(a) - макс. кол-во линейно независимых собственных векторов

б) $a^3=a^2$
$Ker(a) \cap Im(a) \neq 0$

в) хар-кий мн-н: $t^n$
$dim(Ker(a))=k$
$dim(Im(a^2))=n-k-1$

Что такое Жорданова форма, как ее получить из матрицы и подобные простые вещи я понимаю. Но вот торможу на том, например, как пользоваться условиями про макс кол-во линейно незав. с.в....

[Gordmit]

Про пункт а). Характеристический многочлен говорит нам, что в жордановой форме (нашей матрицы 7х7) на диагонали будет пять нулей и две единицы.
Теперь нужно понять, сколько каждому из этих с.з. соответствует жордановых клеток и каковы их размеры.

Сначала про $\lambda=1$. Так как в минимальный аннулирующий многочлен множитель $(t-1)$ входит в первой степени, то получается две клетки размера 1.

Теперь будем разбираться со значением $\lambda=0$. Здесь множитель $t$ входит в минимальный аннулирующий многочлен в степени 2, поэтому размеры клеток будут не больше 2. Осталось воспользоваться условием о связи максимального количества линейно независимых собственных векторов $A$ и $A^2$. Из него следует, что должно быть две клетки размера 2; остается одна клетка размера 1.

[aush]

Gordmit писал(а):

Осталось воспользоваться условием о связи максимального количества линейно независимых собственных векторов $A$ и $A^2$. Из него следует, что должно быть две клетки размера 2; остается одна клетка размера 1.

Можно здесь поподробнее, как это следствие получается?

[Gordmit]

Если я не ошибаюсь, то это просто имеется в виду $\dim\mathrm{Im\,}A^2 = \dim\mathrm{Im\,}A + 2$, т.е. $\dim\mathrm{Ker\,}A^2 = \dim\mathrm{Ker\,}A - 2$, т.е. при возведении жордановой формы $A$ в квадрат должны обнулиться два столбца.

При возведении в квадрат жордановой клетки с ненулевым $\lambda$ никакие столбцы не обнуляются (т.е. $\dim\mathrm{Ker\,}A$ не меняется), а при возведении в квадрат клетки с нулевым с.з. обнуляется один столбец (если размер клетки больше 1). Соответственно, нам в данном случае нужно, чтобы обнулились два столбца, т.е. должны быть две жордановы клетки размера больше 1, отвечающие $\lambda=0$.

А т.к. размер клеток не может быть больше 2 (из предыдущего рассуждения), то отсюда мы заключаем, что единственно возможный вариант размеров клеток для $\lambda=0$ - (2, 2, 1).

[aush]

Ясно, спасибо, с первой разобрался.

А как во второй воспользоваться условием про непустоту пересечения ядра и образа?

[Gordmit]

Во второй задаче из приведенных условий, насколько я понимаю, следует лишь, что в жордановой форме могут быть только клетки вида $(0)$, $(1)$, $\left(\begin{array}{cc}0&1\\0&0\end{array}\right)$, причем последняя должна быть хотя бы одна. Больше ничего вывести не получилось.

То, что других клеток быть не может, следует из условия $a^3=a^2$.
А то, что клетка $\left(\begin{array}{cc}0&1\\0&0\end{array}\right)$ должна быть хотя бы одна, следует из условия о непустоте пересечения ядра и образа. Действительно, из него мы имеем $\exists y\neq 0$: $ay\neq 0$, $a^2y=0$. С другой стороны, если бы клеток такого вида не было, т.е. имеются лишь клетки $(0)$, $(1)$, то $a=a^2$, следовательно, $\forall y$ $ay=a^2y$. Противоречие.

Может быть, из этих условий можно вывести что-то еще, но что-то я сомневаюсь

[aush]

Спасибо! С задачами разобрался. Во второй, прошу прощения, накосячил - оказывается, по условию пересечение ядра и образа как раз равно 0. Третья тоже не сложной оказалась, когда разобрался))