Преобразование Фурье

[Setaper]

Необходимо найти преобразование фурье от $(1- \cos(a \cdot x))\cdot x^{-2}$
Сначала пытался найти через композицию функций $\widehat{f(x) \cdot g(x)} = \sqrt{2 \pi x} (\widehat{f(x)} \ast \widehat{g(x)})$ ($\ast $- свертка) но по независимым от меня причинам(и до сих пор мне не понятным), этот вариант оказался не верным(если сможете сказать почему, буду благодарен, ведь там все в $\mathbb R^n$ пространстве, и свертка считается).
Сказано что делается в лоб по определению, то есть как я понимаю нужно рассмотреть интеграл $\int\limits_{-\infty}^{\infty}((1- \cos(a \cdot x))\cdot x^{-2} \cdot \exp^{-iyx}) dx$.
Повертев его, я понял что вроде тут ничего не поделаешь и придется считать его через вычеты. И тут я немного просел, ибо как я понимаю нужно отдельно рассмотреть $(1- \cos(a \cdot x))\cdot x^{-2}$ найти ее точки, соответственно устранимые $x_1 = 0$, существенные $x_2 = \infty$, а дальше что делать?

[ИСН]

Два раза дифференцируем по параметру, получается интеграл, который берётся сразу (только в обобщённых функциях), потом едем обратно?

[arseniiv]

Если уже есть формула для свёртки, разве не должна быть формула и для $\widehat{x^nf(x)}$?

[Setaper]

такая формула есть, вот только в ней $n$ натуральное(
про двойное дифференцирование, то есть я по сути получаю $\cos(ax)$ потом беру от него преобразование Фурье, а после интегрирую Дирака, получаю тета функцию, а после интегрирования тета функции я что получу?

[arseniiv]

Setaper в сообщении #879872 писал(а):

вот только в ней $n$ натуральное(

А она разве в обратную сторону не работает?

[ИСН]

Setaper в сообщении #879872 писал(а):

а после интегрирую Дирака, получаю тета функцию, а после интегрирования тета функции я что получу?

А вы сложных букв не произносите, и всё будет ладненько. Тета, шмета - зачем? У вас функция, которая выглядит как элементарная, только на разных участках - по-разному. Вот и надо аккуратно записать: на каких, как...

[ewert]

ИСН в сообщении #879854 писал(а):

Два раза дифференцируем по параметру,

Ну два -- явный перебор, ничего хорошего в этом нет. Если уж так, то только один раз; но я бы зашёл с другой стороны. Дифференцирование по параметру -- это вообще не вполне комильфо: за него постоянно приходится оправдываться, да к тому же ещё и интегрировать потом взад.

А вот за что оправдываться не надо -- так это за интегрирование по частям, переводящее гадкую минус вторую степень в прельстительную минус первую: оно уж точно корректно. После чего, с учётом чётностей и элементарной тригонометрии, всё сводится к некоторой комбинации примерно так пяти интегралов вида $\int\frac{\sin\gamma x}x\,dx$, которые от гаммы вообще не зависят (т.е. зависят от знака этой гаммы, но не от её модуля). Некоторые из которых при этом умножаются на $p$, а некоторые -- нет. В общем, ясно, что результатом преобразования будет некоторая кусочно-линейная функция, у которой линейность может ломаться только в точках $p=0,\ p=a,\ p=-a$.

А дальше так. Можно, конечно, честно повозиться с этими пятью интегралами, но можно и маленько сжульничать (притом сжульничать тоже вполне честно). Соображения гладкости, убывания на бесконечности и чётности выбивают из этих четырёхзвенных ломаных все варианты, кроме одного -- кроме равнобедренного треугольника с основанием $p\in(-a;a)$. Но раз уж мы вид Фурье-образа угадали, то давайте и плюнем на прямое преобразование, а применим обратное преобразование к этому угаданному треугольнику (что вообще ничего, кроме элементарного интегрирования, не требует). В результате не может (мамой клянусь) появиться ничего, кроме исходной функции; правда, умноженной на некоторую константу. Ну так и разделим этот треугольник на эту константу.

[profrotter]

ewert в сообщении #879917 писал(а):

Но раз уж мы вид Фурье-образа угадали

С таким успехом можно вообще сослаться на справочник с таблицами преобразований Фурье. Найти там этот треугольник и всё тут. Или в исходной функции увидеть $a^2\left(\frac{\sin(ax)}{ax}\right)^2$ и вспомнить, что $\frac{\sin(ax)}{ax}$ соответствует прямоугольная функция (типа известно, очевидно и тп). Дальше воспользоваться теоремой о свёртке и получить треугольную функцию.

[ewert]

profrotter в сообщении #879946 писал(а):

С таким успехом можно вообще сослаться на справочник с таблицами преобразований Фурье. Найти там этот треугольник и всё тут.

Ни разу. Речь о том, что грубая, в уме и на коленке (а ум полезно держать на коленке) прикидка того, что там может получиться при честном счёте -- быстро приводит к выводу: ничего, кроме треугольника, не может получиться в принципе.