Линейная зависимость/независимость векторов

[AchilleS]

Здравствуйте, уважаемые! Появился один интересный, на мой взгляд, вопрос
Вопрос по линейной алгебре.
1) По определению векторы называются линейно зависимыми, если можно подобрать такие коэффициенты (не все нулевые), при которых их сумма равна 0.
Рассмотрим случай с двумя векторами в двухмерном пространстве. Как я понял, 2 вектора могут быть линейно зависимыми, только если лежат на одной прямой (правда?). И любые 2 вектора, не лежащие на одной прямой, линейно независимы (так как умножая ветор на число, я не смогу повернуть его таким образом, чтобы он стал противоположным второму вектору).
Хотелось бы получить подтверждение своим догадкам

----------
2) Если определитель матрицы из 2-х векторов равен 0, значит они линейно зависимы, если не 0 - линейно независимы.
Но, если произведение векторов равно 0, они линейно независимы, если не 0 - не знаю, какие, но точно не перпендикулярные
Так вот, возмем, например, векторы (2,2) и (5,2).
Если следовать моему предположению в первой части поста, они линейно независимы...
Определитель по модулю равен 6, а произведение не 0.
Что это значит? Определитель говорит, что они линейно независимы, а произведение не о чем, кроме того, что они не перпендикулярные, не говорит...
Помогите, пожалуйта, разобраться. Заранее спасибо!

[Парджеттер]

AchilleS писал(а):

1) По определению векторы называются линейно зависимыми, если можно подобрать такие коэффициенты (не все нулевые), при которых их сумма равна 0.
Рассмотрим случай с двумя векторами в двухмерном пространстве. Как я понял, 2 вектора могут быть линейно зависимыми, только если лежат на одной прямой. (правда?)

Правда. Представьте, что вы строите систему координат на плоскости. Ясно, что у вас не получится только в одном случае - когда у вас два вектора совпадают по направлению (или противоположны - лежат на одной прямой), то есть фактически у вас одна ось. Правда ведь?

AchilleS писал(а):

И любые 2 вектора, не лежащие на одной прямой, линейно независимы (так как умножая ветор на число, я не смогу повернуть его таким образом, чтобы он стал противоположным второму вектору).
Хотелось бы получить подтверждение своим догадкам

Ну у вас вполне правдоподобные рассуждения. Или вы хотите подтверждения путем доказательства из линейной алгебры?

AchilleS писал(а):

Но, если произведение векторов равно 0, они линейно независимы

Кто вам сказал такое? Кстати, какое произведение? Векторное или скалярное? В частных случаях это может быть и верно. Но в общем... Да и вообще, произведение векторов трогать ни к чему.

AchilleS писал(а):

Что это значит? Определитель говорит, что они линейно независимы, а произведение не о чем, кроме того, что они не перпендикулярные, не говорит...

Так и не трогайте это произведение

[незваный гость]

Векторное произведение равно нулю только для коллинеарных векторов. Поэтому, оно ничем не лучше и не хуже определителя (а просто равно ему, с точностью до знака).

[Brukvalub]

незваный гость писал(а):

Векторное произведение равно нулю только для коллинеарных векторов. Поэтому, оно ничем не лучше и не хуже определителя (а просто равно ему, с точностью до знака).

Не уверен, что AchilleS ведет речь о векторном произведении, поскольку векторное произведение ненулевых перпендикулярных векторов также не равно нулю. В любом случае, векторное произведение - это вектор, а определитель матрицы - это число, и быть равными им не суждено

AchilleS писал(а):

Если определитель матрицы из 2-х векторов равен 0

Из этих слов следует, что вектора берутся из двумерного пространства, а перемножать векторно предписано только трёхмерные вектора. Так что прав Парджеттер

Парджеттер писал(а):

Да и вообще, произведение векторов трогать ни к чему.

[незваный гость]

Brukvalub писал(а):

В любом случае, векторное произведение - это вектор, а определитель матрицы - это число, и быть равными им не суждено

В этом есть, конечно, определённая вольность языка. Но говорят так часто, поскольку, если всё лежит на плоскости $OXY$, то две координаты вектора векторного произведения равны нулю, и их никто не вычисляет. Впрочем, как и вектор его не рассматривают…

Brukvalub писал(а):

Из этих слов следует, что вектора берутся из двумерного пространства, а перемножать векторно предписано только трёхмерные вектора.

Можно рассмотреть каноническое вложение плоскости в трёхмерное пространство. «Некоторые так и говорят: не обнажай меч в корчме».

В целом, я согласен с Вашим замечанием. Вольность языка, «как и было сказано». Но вольность, достаточно широко распространённая в прикладных областях.

[AchilleS]

Прошу прощение за двусмысленность "произведения" Честно, говоря, не знаю, что такое векторное произведение, поэтому не предполагал, что это вызовет споры

Да, я имел в виду только двухмерное пространство, до 3-мерного еще не дошел))

Цитата:

Представьте, что вы строите систему координат на плоскости. Ясно, что у вас не получится только в одном случае - когда у вас два вектора совпадают по направлению (или противоположны - лежат на одной прямой), то есть фактически у вас одна ось. Правда ведь?

Вы имеете в виду, построить систему координат на плоскости такую, чтобы при этом можно было получить любую точку это пространтсва (или вектор) через эти векторы, угол между которыми не 90 градусов? Если так, то согласен

Цитата:

Или вы хотите подтверждения путем доказательства из линейной алгебры?

Подтверждения не требуются, вполне достаточно устного объяснения.

Цитата:

Кто вам сказал такое? Кстати, какое произведение? Векторное или скалярное? В частных случаях это может быть и верно. Но в общем... Да и вообще, произведение векторов трогать ни к чему.

Ну как же? Если скалярное произведение равно 0, при этом длины векторов тоже не 0, то значит угол между ними 90 градусов => они линейно независимы. А если оно не 0 - значит, угол не 90 градусов... при этом определитель показывает их линейную независимость...

Хм... Как я понял, это, можно сказать, подтверждение того, что любые 2 ненулевых вектора, угол между которыми не 90 градусов, линейно независимы... Даже так: любые 2 ненулевых вектора, не лежащие на одной прямой, линейно независимы (если угол 90, то они тем более линейно независимы:)). Следовательно, любые векторы в 2-мерном пространстве являются базисом, что кстати вытекает из утверждения Парджеттера:

Цитата:

Представьте, что вы строите систему координат на плоскости. Ясно, что у вас не получится только в одном случае - когда у вас два вектора совпадают по направлению (или противоположны - лежат на одной прямой), то есть фактически у вас одна ось. Правда ведь?

Так?

Интересная вещь получается... Что же тогда с 3-,4-мерными пространствами?....

[Brukvalub]

AchilleS писал(а):

Хм... Как я понял, это, можно сказать, подтверждение того, что любые 2 ненулевых вектора, угол между которыми не 90 градусов, линейно независимы... Даже так: любые 2 ненулевых вектора, не лежащие на одной прямой, линейно независимы (если угол 90, то они тем более линейно независимыSmile). Следовательно, любые векторы в 2-мерном пространстве являются базисом, что кстати вытекает из утверждения Парджеттера:

Два ненулевых вектора на двумерной плоскости линейно независимы тогда и только тогда, когда они неколлинеарны, то есть их координаты в произвольной системе координат непропорциональны, то есть определитель матрицы, составленной из их координат не равен нулю. И бросьте чудить со скалярным произведением: оно к линейной независимости отношения не имеет!

[AchilleS]

Brukvalub писал(а):

AchilleS писал(а):

Хм... Как я понял, это, можно сказать, подтверждение того, что любые 2 ненулевых вектора, угол между которыми не 90 градусов, линейно независимы... Даже так: любые 2 ненулевых вектора, не лежащие на одной прямой, линейно независимы (если угол 90, то они тем более линейно независимыSmile). Следовательно, любые векторы в 2-мерном пространстве являются базисом, что кстати вытекает из утверждения Парджеттера:

Два ненулевых вектора на двумерной плоскости линейно независимы тогда и только тогда, когда они неколлинеарны, то есть их координаты в произвольной системе координат непропорциональны, то есть определитель матрицы, составленной из их координат не равен нулю. И бросьте чудить со скалярным произведением: оно к линейной независимости отношения не имеет!

Все понятно...