Тупые вопросы по анализу

[kp9r4d]

1) Пусть $f: D \to D'$ ($p$-гладкий $p>0$) диффеоморфизм $k$-поверхности (компактной, без края) $D$ ($\subset \mathbb{R}^n$) на $k$-поверхность (компактную,без края) $D'$ ($\subset \mathbb{R}^n$). Всегда ли существует диффеоморфизм $g:\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n$, сужение которого на $D$ совпадает с $f$? (Неформально говоря: любой ли диффеоморфизм компактных поверхностей можно продолжить до диффеоморфизма пространств, в которых эти поверхности находятся (при условии что у этих пространств совпадают размерности)?)

2) Пусть $x(t): \mathbb{R}^k \to S$ —  внутренние координаты $p$-гладкой ($p>0$) $k$-поверхности в окресности точки $x(0)$, может ли быть такое, что $\operatorname{rang} x'(0) \neq k$?

3) Каков геометрический смысл вырожденности/невырожденности критической точки?

Попытки решения:
1) Скорее всего нет, если не требовать компактности, то, например, можно взять интервал на прямой и продиффеоморфить его на всю $\mathbb{R}$, тогда любую точку вне интервала, очевидно, никуда перевести не получится (потому что отображение должно быть биективным, а образ интервала уже занимает всю прямую).
2) Скорее всего нет, из геометрических соображений: любую в любой точке гладкой $2$-поверхности (вкладывающейся в $3$-пространство), очевидно, можно провести касательную $2$-плоскость.

[kp9r4d]

Второй вопрос был действительно тупой — очевидное следствие теоремы о ранге (для гладких отображений). Ответ — нет.

[g______d]

kp9r4d в сообщении #878934 писал(а):

1) Пусть $f: D \to D'$ ($p$-гладкий $p>0$) диффеоморфизм $k$-поверхности (компактной, без края) $D$ ($\subset \mathbb{R}^n$) на $k$-поверхность (компактную,без края) $D'$ ($\subset \mathbb{R}^n$). Всегда ли существует диффеоморфизм $g:\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n$, сужение которого на $D$ совпадает с $f$? (Неформально говоря: любой ли диффеоморфизм компактных поверхностей можно продолжить до диффеоморфизма пространств, в которых эти поверхности находятся (при условии что у этих пространств совпадают размерности)?)

Подозреваю, что в качестве контрпримера может подойти диффеоморфизм тора, переставляющий параллель и меридиан (тор вложен в $\mathbb R^3$), но доказательство придумать не могу.

[kp9r4d]

g______d
Да, хороший пример. Я вспомнил, благодаря вам, ещё один. Где-то у Прасолова было написано в «Наглядной топологии для школьников», что если $T$ — трилистник, а $S^1$ незаузленная окружность, то $\mathbb{R}^3 \setminus T$ и $\mathbb{R}^3 \setminus S^1$ не гомеоморфны; впрочем, доказательства он не приводил. Если есть более-менее несложное доказательство этого факта, было бы хорошо.

Мне вот ещё что непонятно, в Зориче т.1 в «теореме о ранге» (с.493-494) в самом начале пишут: «Чтобы не менять нумерацию будем считать, что в любой точке $x \in U$ главный минор порядка $k$, стоящий в левом верхнем углу якобиевой матрицы отображения $f$ отличен от нуля.» Так считают, в силу предположения о том, что $\operatorname{rang} f'(x)=k, x \in U$ ($U$ окрестность в $\mathbb{R}^n$). И мне не очень понятно, почему это вдруг должна существовать «единая» перенумерация для всех точек из $U$ при которой ранг матрицы $f'(x)$ реализовывался бы в первых $k$ строках? Может в какой-то точке нужно для этого оставить всё как есть, а в какой-то поменять первую и третюю строчку. Сформулирую построже:

4) Пусть $x(t) : D(x_0) (\subset \mathbb{R}^m) \to \mathbb{R}^n$ — $p$-гладкое ($p>0$) отображение из области $D$ (окрестности точки $x_0$) ранга $k$ (в любой точке $D$), всегда ли существует такая перестановка координат $A : \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^m$ и $B: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n$ и окрестность $V(x_0) \subset D(x_0)$, что главный минор порядка $k$, стоящий в левом верхнем углу матрицы $B f' A^{-1}$ отличен от нуля в любой точке окрестности $V(x_0)$?

[g______d]

kp9r4d в сообщении #878991 писал(а):

Да, хороший пример.

Я пока не знаю, правильный ли он. Диффеоморфизм может не быть изотопен тождественному... по крайней мере в классе диффеоморфизмов, переводящих тор в себя.

kp9r4d в сообщении #878991 писал(а):

Где-то у Прасолова было написано в «Наглядной топологии для школьников», что если $T$ — трилистник, а $S^1$ незаузленная окружность, то $\mathbb{R}^3 \setminus T$ и $\mathbb{R}^3 \setminus S^1$ не гомеоморфны; впрочем, доказательства он не приводил. Если есть более-менее несложное доказательство этого факта, было бы хорошо.

Это вопрос про группу узла. Группой узла называется фундаментальная группа дополнения до $\mathbb R^3$. Думаю, что у Прасолова в "Элементах комбинаторной и дифференциальной топологии" доказывается, что у трилистника и у тривиального узла группы разные...

kp9r4d в сообщении #878991 писал(а):

Я вспомнил, благодаря вам, ещё один.

... Но это не является примером к задаче. Здесь разные вложения окружности в пространство, а в пункте 1 должны быть одинаковы. И для окружности, кстати, ответом будет "продолжается", довольно очевидно, как. Мне кажется, что этот эффект если и наблюдается, то только в коразмерности 1.

[kp9r4d]

g______d в сообщении #878992 писал(а):

а в пункте 1 должны быть одинаковы.

Ну, я вроде такого не писал, но так даже ещё интереснее. Когда я писал «сужение на $D$», я имел в виду сужение области определения.

[g______d]

kp9r4d в сообщении #878994 писал(а):

Ну, я вроде такого не писал, но так даже ещё интереснее. Когда я писал «сужение на $D$», я имел в виду сужение области определения.

А, да, я не увидел, что $D$ и $D'$ различны. Тогда пример с узлами подходит.

[kp9r4d]

А всё-таки, если неразличны? И как вы свели этот вопрос к вопросу существования диффеоморфизма, неизотопного тождественному?

[g______d]

kp9r4d в сообщении #879351 писал(а):

И как вы свели этот вопрос к вопросу существования диффеоморфизма, неизотопного тождественному?

Пока никак. Если диффеоморфизм подмногообразия изотопен тождественному, то понятно, что скорее всего можно продолжить (взять трубчатую окрестность и, удаляясь от подмногообразия вдоль её слоя, деформировать в тождественный). Но непонятно, почему для другого случая не будет какого-то хитрого диффеоморфизма объемлющего пространства.

Я думал, что это хорошо известно, но пока не смог ничего найти, вот самое близкое: http://vmm.math.uci.edu/PalaisPapers/Ex ... iffeos.pdf

[kp9r4d]

g______d в сообщении #879418 писал(а):

Я думал, что это хорошо известно, но пока не смог ничего найти, вот самое близкое: http://vmm.math.uci.edu/PalaisPapers/Ex ... iffeos.pdf

А это и смежные к этим вопросы (вроде доказательство того, что такое может быть только с поверхностями коразмерности 1) может выступить в качестве исследовательской работы только что второкурсника? Хочу свою осмысленную статью на арХиве!

[g______d]

Хм, а я, может быть, и неправ был. Объясняется, когда в коразмерности 2 бывает ответ "нет". И тем самым отвечает на исходный вопрос.

http://arxiv.org/abs/0910.4949v2

[kp9r4d]

g______d
Я по диагонали просмотрел, и понял, что мне покаместь не по уровню. Там есть объяснения когда «нет» для коразмерностей $\neq 2$?

[g______d]

kp9r4d в сообщении #879434 писал(а):

Там есть объяснения когда «нет» для коразмерностей $\neq 2$?

Вроде только для 2.

[kp9r4d]

g______d
А не подскажите, что можно почитать, чтобы понимать все слова в статье

g______d в сообщении #879427 писал(а):

http://arxiv.org/abs/0910.4949v2

?
Например «спин-структура» в рунете вообще не гуглится. Что-то по дифференциальной топологии?

[g______d]

kp9r4d в сообщении #879445 писал(а):

Например «спин-структура» в рунете вообще не гуглится.

http://en.wikipedia.org/wiki/Spin_structure

-- Вт, 24 июн 2014 12:44:58 --

kp9r4d в сообщении #879421 писал(а):

А это и смежные к этим вопросы (вроде доказательство того, что такое может быть только с поверхностями коразмерности 1) может выступить в качестве исследовательской работы только что второкурсника?

Нужен научный руководитель, который представляет себе состояние дел в этой задаче. Наверняка есть еще работы, которые я не смог нагуглить.

Может быть, стоит спросить на mathoverflow, там такие вещи очень любят и, думаю, с радостью подробно и со ссылками ответят.