Сумма ряда

[never-sleep]

Помогите, пожалуйста, разобраться с задачей.

Найти сумму ряда $\sum\limits_{n=2}^{+\infty}\dfrac{n\cos(nx)}{n^2-1}$

Обычно в таких задачах почленно интегрировал или же дифференцировал. Если бы нужно было исследовать на сходимость -- это уж куда проще, а тут не знаю -- как подступиться, подскажите, пожалуйста!

[nnosipov]

Представьте дробь $n/(n^2-1)$ в виде суммы простейших дробей.

[never-sleep]

nnosipov в сообщении #879366 писал(а):

Представьте дробь $n/(n^2-1)$ в виде суммы простейших дробей.

Спасибо, вот что вышло:

$\dfrac{n}{n^2-1}=\dfrac{1}{2(n+1)}+\dfrac{1}{2(n-1)}$

$\sum\limits_{n=2}^{+\infty}\dfrac{n\cos(nx)}{n^2-1}=\frac{1}{2}\sum\limits_{n=2}^{+\infty}\dfrac{\cos(nx)}{n-1}+\frac{1}{2}\sum\limits_{n=2}^{+\infty}\dfrac{\cos(nx)}{n+1}=$

[nnosipov]

Всё верно. Осталось вычислить эти два ряда, сведя их к уже известным.

[never-sleep]

nnosipov в сообщении #879370 писал(а):

Всё верно. Осталось вычислить эти два ряда, сведя их к уже известным.

А к каким известным сводить?

[ex-math]

Думаю, может помочь переобозначение индексов суммирования, чтобы знаменатель был одинаковый, и почленное сложение.

[never-sleep]

$\sum\limits_{n=2}^{+\infty}\dfrac{\cos(nx)}{n-1}=[k=n-1]=\sum\limits_{k=1}^{+\infty}\dfrac{\cos((k+1)x)}{k}=\frac{1}{2}\sum\limits_{k=1}^{+\infty}\dfrac{e^{i(k+1)x}}{k}+\frac{1}{2}\sum\limits_{k=1}^{+\infty}\dfrac{e^{-i(k+1)x}}{k}=$
$=\dfrac{e^{ix}}{2}\cdot \ln\left(\dfrac{1}{1-e^{ix}}\right)+\dfrac{1}{2e^{ix}}\cdot \ln\left(\dfrac{1}{1-e^{-ix}}\right)$

Верно?

-- 24.06.2014, 20:38 --

Пользовался рядом:

$\sum\limits_{n=1}^{+\infty}\dfrac{z^n}{n}=\ln\left(\dfrac{1}{1-z}\right)$, где $z=e^{ix}$

[nnosipov]

Ну, если в арифметике не наврали, то всё окей.

[never-sleep]

Спасибо, только вот не очень ясно как это свойство применить для $e^{-ix}$

$\sum\limits_{n=1}^{+\infty}\dfrac{z^n}{n}=\ln\left(\dfrac{1}{1-z}\right)$

Если $z=e^{ix}$, то ясно:

$\sum\limits_{n=1}^{+\infty}\dfrac{e^{inx}}{n}=\ln\left(\dfrac{1}{1-e^{ix}}\right)$

А для $e^{-ix}$ будет так или что-то еще поменяется??

$\sum\limits_{n=1}^{+\infty}\dfrac{e^{-inx}}{n}=\ln\left(\dfrac{1}{1-e^{-ix}}\right)$

[nnosipov]

$x$ меняем на $-x$, всё в порядке.

[never-sleep]

nnosipov в сообщении #879384 писал(а):

$x$ меняем на $-x$, всё в порядке.

Хорошо, спасибо!

[never-sleep]

Условие задачи неверно переписал(

Найти сумму ряда $\sum\limits_{n=2}^{+\infty}\dfrac{(-1)^n n\cos(nx)}{n^2-1}$

Теперь не получается учесть $(-1)^n$.

Как можно вычислять сумму такого ряда?

$\sum\limits_{k=1}^{+\infty}\dfrac{(-1)^{k}e^{ikx}}{k}$

[nnosipov]

$(-1)^kz^k=(-z)^k$

[never-sleep]

Вот так? $\sum\limits_{n=1}^{+\infty}\dfrac{(-1)^ne^{inx}}{n}=\ln\left(\dfrac{1}{1+e^{ix}}\right)$

[nnosipov]

Да.