Якобиан

[svv]

Мера образа может быть пропорциональна $a$ и $b$ — так и происходит при линейном отображении. Но общее утверждение ведь претендует на правильность во всех ситуациях, для которых оно сформулировано. А для нелинейных отображений это утверждение уже неверно, можно взять практически любой пример, хоть переход от декартовых координат к полярным.

[loshka]

честно говоря не понимаю Вас. $\lim\limits_{a\to 0,b\to 0}\frac{\mu\lambda(u_0,v_0,a,b)}{\mu(u_0,v_0,a,b)}=J(u_0,v_0,a,b)$
вот так выглядело утверждение, которое потом преподаватель сформулировал в лемму, из него же следует, что мера образа прямоугольника пропорциональна мере прямоугольника(в пределе)

[svv]

Якобиан не зависит от $a$ и $b$, в правой части нужно убрать $a$ и $b$:
$\lim\limits_{a\to 0,b\to 0}\frac{\mu\lambda(u_0,v_0,a,b)}{\mu(u_0,v_0,a,b)}=J(u_0,v_0)$
Тогда то, что Вы сейчас написали, понятно и правильно.
Но ведь здесь у Вас предел. А Вы говорили о формуле без всяких пределов:
$\mu\delta(u,v,ah,bh)=|J(u,v)|abh^2(1+\lambda(u,v,h))$
Без перехода к пределу это неверно, потому что в общем случае $\lambda$ будет зависеть от $a$ и $b$.

[loshka]

да, без $a$ и $b$, да, но у меня в следующем утверждение говорится о равномерной сходимости к нулю $\lambda(u,v,h)$ при $h\to 0$

[svv]

Так давайте, чтобы это было правильно, говорить о стремлении к нулю $\lambda(u, v, a, b, h)$.

Пример. Точка с декартовыми координатами $(u, v)$ отображается в точку с полярными координатами $\rho=u, \varphi=v$. Тогда образом синего прямоугольника $[u,u+a]\times[v,v+b]$ будет оранжевая фигура, у точек которой $\rho\in[u,u+a]$, и $\varphi\in[v,v+b]$:

Площадь синего прямоугольника равна $ab$, а площадь оранжевой фигуры
$\frac 1 2\Delta\varphi((\rho+\Delta\rho)^2-\rho^2)=\frac b2((u+a)^2-u^2)=b(ua+\frac {a^2}2)$
Якобиан $J(u,v)=u=\rho$, поэтому площадь оранжевой фигуры равна
$J(u,v)ab(1+\frac{a}{2u})$,
то есть $\lambda=\frac {a}{2u}$ зависит и от $a$ тоже (в общем случае от $u,v,a,b$).

Ваш преподаватель устремляет к нулю не сами $a$ и $b$. Вместо этого он записывает стороны прямоугольника в виде $ah$ и $bh$, и устремляет к нулю $h$. В этом случае площадь оранжевой фигуры равна
$J(u,v)abh^2(1+\frac {ah}{2u})$
И при таком подходе в общем случае $\lambda$ есть функция $u,v,a,b,h$.

[loshka]

svv Спаси огромное, теперь я понял условие задания, мне интересно Вы высчитали площадь оранжевой фигуры с помощью интеграла?

Попробую теперь пару дней поразмыслить,как доказать это утверждение на произвольное отображение, но Ваш пример очень помог понять идею данного выражения.
Хотя до сих пор остается неясен момент с равномерной сходимостью, что здесь рассматривать, как функциональную последовательность $\lambda(u,v,a,b,h)$ но нет нумерации элементов последовательности

[svv]

Нет, конечно! Она получается из двух соображений, если их объединить.
1) Площадь круга $\pi r^2$, тогда площадь кольца с меньшим радиусом $r$ и шириной $\Delta r$ будет $\pi((r+\Delta r)^2-r^2)$.
2) Площадь круга $\pi r^2=\frac 1 2 (2\pi) r^2$, тогда площадь сектора с углом $\Delta \varphi$ получится, если заменить полный оборот $2\pi$ на угол $\Delta \varphi$ (или, что то же, $\pi$ на $\frac 1 2 \Delta \varphi$). Получаем $\frac 1 2 \Delta \varphi r^2$.
Эти две идеи можно применить независимо. Заменяя $r^2$ на $(r+\Delta r)^2-r^2$ и $\pi$ на $\frac 1 2 \Delta \varphi$, получаем ту формулу.

[loshka]

красиво и просто однако

[Oleg Zubelevich]

хорошее доказательство теоремы о замене переменных в интеграле содержится в учебнике Брюса Драйвера, учебник здесь:
http://files.mail.ru/90B52CA0286144A8A33C5CE11A833DB4

[loshka]

Oleg Zubelevich Спасибо за литературу.

[loshka]

жаль, что я по английский совсем не понимаю

[loshka]

Эм, спустя пару дней я пришел к выводу, что не могу сие чудо, может кто-нить подсказать, как это доказывать?