Свободная Алгебра

[infantier]

Пусть p(x,y) - элемент свободной ассоциативной алгебры
(алгебра многочленов от некоммутирующих переменных) над
некоторым полем K(не элемент поля,т.е. зависит хотя бы от одной переменной) . Пусть r(n) - минимум рангов матриц,
полученных подстановкой двух n на n - матриц , определенных
над полем K , в p(x,y) .
Доказать: r(n)/n -> 0 при n стремящемся к бесконечности.
Свободный член не равен нулю.Т.к. иначе можно поставить нули вместо x и y и задача решена.

Если у кого-нибудь есть какие-нибудь мысли поделитесь ими пожалуйста.Может быть Вы видели где-нибудь что-то подобное?

[Руст]

infantier писал(а):

Пусть p(x,y) - элемент свободной ассоциативной алгебры
(алгебра многочленов от некоммутирующих переменных) над
некоторым полем K . Пусть r(n) - минимум рангов матриц,
полученных подстановкой двух n на n - матриц , определенных
над полем K , в p(x,y) .

Доказать: r(n)/n -> 0 при n стремящемся к бесконечности.

Если у кого-нибудь есть какие-нибудь мысли поделитесь ими пожалуйста.

По видимому что то упустили. Ведь если поставить нулевую матрицу в качестве этих матриц, всегда получим ноль и для ранга.

[Echo-Off]

Руст писал(а):

По видимому что то упустили. Ведь если поставить нулевую матрицу в качестве этих матриц, всегда получим ноль и для ранга.

Если свободный член не имеется, то, по-видимому, так и есть.
Но свободный член может и иметься.

[lofar]

Если поле $K$ алгебраически замкнуто, то для любого полинома $f\in K[x,y]$ не равного константе найдутся $a,b\in K$ такие, что $f(a,b)=0$ (теорема Гильберта о нулях). Значит, если $K$ алгебраически замкнуто и полином $p\in K<x,y>$ (с некоммутирующими переменными) таков, что $r_p(n)/n\not\to 0$, то $p(x,y) = \alpha + q(x,y)$, где $\alpha\in K^*$ и $q(x,y)$ --- полином из идеала порожденного коммутаторами.

[infantier]

Да, это понятно.Назовём "словом" произведение х и y в каком-то порядке.(Порядок важен,т.к. многочлен некоммутирующий) .Разобьём многочлен на слагаемые в каждом из которых степень по х равна p,а степень по y равна m(Т.е. кол-во х и y в слове).Если существует слагаемое с суммой коэффициентов при словах не равной нулю,то как доказывать я знаю.А что делать,если в каждом слагаемом сумма коэффициентов равна нулю.Например,xyyx-yxxy+1?

[lofar]

lofar писал(а):

Если поле $K$ алгебраически замкнуто, то...

Алгебраическая замкнутость тут ни при чем, все верно и без этого.

infantier писал(а):

...если в каждом слагаемом сумма коэффициентов равна нулю...

Да, именно эти полиномы и образуют идеал порожденный коммутаторами. Общий вид полинома такого сорта --- $a(x,y)[x,y]b(x,y)$, где $a$ и $b$ произвольные полиномы. Таким образом, нужно разобраться со случаем $p = a[x,y]b+1$.

Для $p=1 + [x,y]$ теорема верна (имеются матрицы $A$ и $B$ такие, что $rk(E+[A,B])=1$). В общем случае задача представляется сложной.

Известно, что не существует тождества выполняющегося во всех матричных алгебрах $M_n(K)$, $n=1,2,\ldots$ Ваша теорема показывает, что нет и "антитождеств" (от двух переменных) --- таких полиномов $p$, что минимальный ранг $p(A_1, A_2)$ при $A_1, A_2\in M_n(K)$ не является $o(n)$.

[infantier]

А есть ещё какие-нибудь теоремы по этой задаче?