обращение теоремы Томпсона

[Oleg Zubelevich]

Предположим в некотором объеме нашего трехмерного пространства движется жидкость, ее поток задан гладким полем скоростей $v=v(t,x)$.
Кроме того, предположим, что нам задано еще векторное поле $A=A(t,x)$, причем эти поля удовлетворяют следующим условиям

$$\frac{\partial A}{\partial t}=\mathrm{rot}\,(v\times A),\quad \mathrm{div}\, A=0.\qquad (*)$$

Крестом обозначено векторное произведение

Теорема Томпсона состоит в следующем. Пусть $\Sigma=\Sigma(t)$ некторая жидкая поверхность т.е. гладкое двумерное многообразие, состоящие из частиц жидкости и перемещающееся вместе с потоком. Тогда поток вектора $A$ через эту поверхность

$$\int_\Sigma(A,n)dS\qquad (**)$$

не зависит от времени.

Условия (*) являются достаточными для сохранения интеграла (**) по любой жидкой поверхности (для которой интеграл вообще определен).


Задача: найти необходимые и достаточные условия на поля $v,A$ при которых интеграл (**) сохраняется для любой жидкой поверхности.

[scwec]

Пусть $\omega_A$ внешняя 2-форма, соответствующая полю $A$ в $\mathbb{R}^3$.
Тогда н.и д. условие для сохранения интеграла $(**)$ выглядит так: $\dfrac{\partial{\omega_A}}{\partial{t}}+L_v(\omega_A)=0$, где $L_v$ - производная Ли.

[Oleg Zubelevich]

я знал, что это будете Вы

[scwec]

А я знал, что Вы знали.