Неравенство

[fibonacci]

Более простое проблема:
$ a,b,c>0$ prove that :
$ \frac{1}{4}*(\frac{1}{a+b} + \frac{1}{b+c} + \frac{1}{c+a}) + \frac{1}{8}*(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c})\geq \frac{1}{3a+b} + \frac{1}{3b+c} + \frac{1}{3c+a} $

[fibonacci]

Есть ли у какого то решение?

[arqady]

$\sum\limits_{cyc}\left(\frac{2}{a+b}+\frac{1}{a}-\frac{8}{3a+b}\right)=\sum\limits_{cyc}\frac{(a-b)^2}{a(a+b)(3a+b)}\geq0$.
Ваше неравенство также получается после интегрования из неравенства:
$\sum\limits_{cyc}(x^4+x^2y^2)\geq2\sum\limits_{cyc}x^3y$.

[rightways]

$\frac{1}{a+b}+\frac{1}{2a} \ge \frac{4}{3a+b}$

суммируя получим требуемое.