Свойство многочлена

[kikik]

Верно ли ,что любой многочлен можно представить в виде суммы трех кубов других многочленов?

[мат-ламер]

kikik.
Покажите на примере, как это сделать для $x^2$.

[kikik]

А что это даст?

[мат-ламер]

$x^2=(x+1)^3/3+(1-x)^3/3+C^3$.

-- Вс июн 22, 2014 15:12:24 --

kikik в сообщении #878231 писал(а):

А что это даст?

Ничего. Я просто так спросил.

[ИСН]

Кто видел ответ на аналогичный вопрос для рациональных чисел, тот уже ничему не удивится.

[hippie]

I способ.
$P(x)=\frac{(P(x)+1)^3+(P(x)-1)^3-2(P(x))^3}{6}=\left( \tfrac{P(x)+1}{6^{\frac 13}}\right) ^3+\left( \tfrac{P(x)-1}{6^{\frac 13}}\right) ^3+\left( -\tfrac{P(x)}{3^{\frac 13}}\right) ^3.$

II способ.
Нужное представление получается при $n=3$ из общего представления произвольного многочлена $P(x)$ в виде суммы $n$ слагаемых, каждое из которых является $n$-й степенью многочлена:
$P(x)=\sum\limits_{k=0}^{n-1}\frac{e^{\frac{2\pi ki}{n}}(P(x)+e^{\frac{2\pi ki}{n}})^n}{n^2}=\sum\limits_{k=0}^{n-1}\left( \frac{e^{\frac{2\pi ki}{n^2}}}{n^{\frac 2n}}(P(x)+e^{\frac{2\pi ki}{n}})\right) ^n.$