Задача:Пусть

и для всех

,

,

,

. Докажите, что отношение

есть отношение линейного порядка на

.
Чтобы доказать линейность, сначала нужно доказать, что отношение является отношением простого порядка. Для этого нужно проверить следующие свойства.
- Рефлексивность.
Так как
, то
. - Антисимметричность.
Если
, то
. Если
, то
. Так как
, то
Значит,
, и отношение антисимметрично. - Транзитивность.
Пусть
и
, докажем, что
.
Так как
, то
;
, то 
Значит,
, и отношение транзитивно.
Все просто. Но вот как быть с доказательством линейности - непонятно. Мне кажется, что из условия задачи линейность никак не следует. Можно привести вот такой вот пример.
Пусть

и

, тогда условия задачи будут выглядеть следующим образом:

;

;

.
А отношение

заменим на отношение
делит 
, или, если коротоко,

.
По определению, наше бинарное отношение

будет являться отношением линейного порядка, если

либо

либо

. Но очевидно, что отношение

выполняется не для всех

и

.
Хотя, скорее всего, я чего-то не понимаю
