Классический метод решения задачи рассеяния частиц

[Lvov]

Известны решения уравнения Дирака для электрона, взаимодействующего с постоянным электрическим полем или волновым электромагнитным полем. Примером решения при наличии постоянного электрического поля является решение уравнения Дирака для атома водорода. Простейший пример решения для электрона, взаимодействующего с волновым электромагнитным (ЭМ) полем, - решение задачи Комптона.
В первом случае используется (квази)классический метод вычисления волновой функции путем поиска совокупности решений, удовлетворяющих уравнению Дирака при учете центрального кулоновского поля ядра атома - протона.
Во втором случае обычно используется метод вторичного квантования с применением диаграммной техники Фейнмана. Здесь вместо волновой функции частицы выступают функции-операторы ее рождения и уничтожения, при этом помимо внешнего возбуждающего волнового электромагнитного поля в расчет принимаются дополнительные ЭМ поля, называемые полем излученного и полем поглощенного фотона.

Однако процедура вторичного квантования в последнем случае не является обязательной, здесь также приемлем метод классического решения задачи [u]при учете случайных вакуумных полей (СВП), прежде всего, вакуумного ЭМ поля[\u].
О случайных вакуумных полях ранее говорилось в сообщениях post767962.html#p767962, post666931.html#p666931 и post675677.html#p675677. Соответствующие формулы (10,11) для произведений составляющих амплитуды случайных вакуумных электромагнитного поля (ЭМП) и электронно-позитронного поля (ЭПП) в некоторой точке 4-пространства приведены в первом из указанных сообщений. Здесь же приведена формула (13) для произведения компонент случайного ЭМП в двух различных точках 4-пространства. Так произведение компонент амплитуды ЭМ СВП для элементарной области спектрального пространства $d^3k$ равняется

$$d^3(A_+^{*i}A_{+j})=\frac \hbar {2\omega}\delta^i_j \frac{d^3k}{(2\pi)^3},\quad (10)$$

а произведение тех же компонент в двух различных точках 4-пространства равно

$$A_{+i}^*(x_2)\,A_+^j(x_1)=\delta_i^j \frac {\hbar}{2(2\pi)^3} \int e^{ikx} \frac {d^3k}{\omega} =\delta_i^j\frac {\hbar}{4\pi c}\delta_+(x^2)=\delta_i^j\,D_+(x_{12}).\,\,(13)$$

Здесь $x= x_2-x_1,$
$D_+(x_{12})$ - положительно-частотная часть функции распространения фотона из точки $x_1$ в точку $x_2,$
индекс $+$ обозначает положительно-частотную составляющую вектора-потенциала ЭМ поля и функции распространения фотона.
Отличие указанного ЭМ СВП от принятого в КЭД нулевого вакуумного состояния ЭМП заключается в том, что спектральная плотность энергии рассматриваемого поля равняется $\hbar\,\omega,$ в то время как согласно принятой теории эта величина имеет вдвое меньшее значение.

При классическом решении рассматриваемой задачи для определения амплитуды $M_k$ некоторой составляющей $\psi_k$ волновой функции рассеянного электрона удобно воспользоваться интегральным методом вычисления последовательных приближений с использованием функции Грина свободной частицы. Указанный метод достаточно полно описан В.Г. Левичем в монографии "Курс теоретической физики, т.II, часть V, $\S$ 29, 58, 124. Рассматриваемая составляющая решения при этом представляется в виде суммы бесконечного ряда частных решений убывающего порядка малости

$$M_k=\sum_{n=0}^{\infty}\left [(ie)^n \int \int \ldots \int \bar{\psi}_k(x_n) \cdot \hat {A}(x_n)\cdot K(x_n-x_{n-1}) \cdots \hat {A}(x_1)\cdot \psi_1(x_1) d^4x_1 d^4x_2 \cdots d^4x_{n-1} d^4x_n\right ].\,\, (1)$$

Здесь $ K(x_n-x_{n-1})$ - функция Грина свободного электронного поля, т.е. функция распространения электронной волны из точки $x_{n-1}$ в точку $x_n,\,\,x_n^0>x_{n-1}^0.$
$\,\,\, \hat {A}(x)=\gamma ^r A_r.$
Вычисление функциональных составляющей рассеянного поля вместо вычисления его полной функции производится по той причине, что конечная функция имеет случайную не детерминированную форму ввиду влияния случайных вакуумных полей, участвующих в расчетных формулах. Вычисление же амплитуды функциональных составляющих позволяет определить вероятность обнаружения рассеянной частицы в указанных состояниях.

Реальной смысл и практический интерес представляют лишь частные решения, отвечающие отдельным членам в выражении (1), получаемые при включении в каждый из сомножителей одной из характерных независимых составляющих ЭМП, таких как случайное вакуумное поле, внешнее поле, поле ядра и др. при правильном выборе знака частоты каждой составляющей вектора-потенциала ЭМП.
Например, при рассеянии электрона, волновая функция которого отрицательно-частотна, фотоном составляющая внешнего ЭМ поля, увеличивающая энергию электрона, должна также быть также отрицательно-частотной. В то же время составляющая случайного вакуумного поля, возвращающая электрон из состояния виртуальной частицы в состояние свободной частицы, должна быть положительно-частотной. В случае взаимодействия с ЭМП позитрона знаки частоты всех составляющих изменяются на обратные.
Поскольку взаимосмена позиций (1-й и 2-й) составляющих внешнего и вакуумного случайного поля не нарушает когерентности соответствующих конечных составляющих, то амплитудные коэффициенты разложения для этих двух случаев следует суммировать алгебраически. В случае же не детерминированных составляющих, например составляющих с разными волновыми векторами или составляющих разного порядка малости, может производиться лишь суммирование квадратов модулей найденных коэффициентов, определяющих вероятности обнаружения совокупности конечных состояний.

При достаточно больших значениях $n$ характерные составляющие случайного ЭМП могут одновременно выступать в разных сомножителях. При этом положительно-частотные и отрицательно-частотные их составляющие (с одинаковой частотой) должны чередоваться. При этом каждая пара сомножителей вида $A_{+i}^*(x_2)\,A_+^j(x_1)$ на основании выражения (13) может быть заменена положительно-частотной функцией распространения фотона из точки $x_1$ в точку $x_2\,\,\,\,D_+(x_{12}).$ Можно понять, что рассматриваемому случаю двукратного учета вакуумного ЭМП в фейнмановской методике отвечает внутренняя электромагнитная линия, описывающая излучение и последующее поглощение электроном виртуального фотона.
Правильная хронология явлений взаимодействия частиц обеспечивается порядком интегрирования с возрастанием номера волновой функции и соответствующего набора координат, которое производится во временных пределах от $t=t_0$ до $t_1<t_2 \cdots<t_{n-1}<t_n.$

Вычисления по формуле (1) могут быть упрощены при использовании ряда известных приемов КЭД. Например, зачастую удобно представление подынтегральных функций в виде спектральных интегралов. При этом после выполнения пространственно-временного интегрирования появляются множители вида $\delta (\sum kx)$-функций, которые упрощают дальнейшее интегрирование. Возможен также переход к одинаковым верхним пределам интегрирования по времени путем выполнения преобразований, подобным преобразованиям, используемым в квантовой электродинамике (хронологические произведения).

В выше изложенной методике принимались во внимание лишь случайные вакуумные ЭМП. Однако более точный расчет требует также учета в высших приближениях случайных вакуумных электронно-позитронных полей, как это делается в КЭД.

Изложенный выше способ в основном эквивалентен фейнмановской диаграммной методике в безоператорной форме. Однако в предложенном варианте вместо трудно осмысливаемых полей излученного и поглощенного фотонов

$$A^{\nu}_{\text{изл}}=e^{\nu}\sqrt{\hbar /(2\omega)}\,e^{-ikx}, \,\,A^{\nu}_{\text{изл}}=e^{\nu}\sqrt{\hbar /(2\omega)}\,e^{+ikx}$$

электрон взаимодействует с отрицательно- и положительно-частотными составляющие вакуумного ЭМП, спектральная амплитуда которых имеет значение

$$|A_{\pm}|=\sqrt{\hbar \cdot \Delta^3k/(2\omega(2\pi)^3)}.$$

Недостающие на первый взгляд в методике Фейнмана множители $\sqrt {\Delta^3k/(2\pi)^3} $ учитываются при выполнении суммирования по состояниям излученных или поглощенных фотонов.

Ввиду использования отдельных волновых уравнений для электрона и позитрона и безоператорной формы представления волновой функции теряют смысл операторы нормального произведения волновых функций. Правильное же вычисление результатов в рассматриваемом методе обеспечивается требованием соблюдения статистического закона возрастания энтропии. Корректные статистические закономерности получаются выбором положительно- и отрицательно-частотных составляющих волновых функций, обеспечивающих убывание энергии частицы при действии случайного вакуумного ЭМ поля или совокупности названных полей, и возрастание ее энергии при действием внешнего волнового ЭМП или совокупности указанных полей. В случае действия на электрон внешнего и случайного ЭМП в расчетах фигурируют отрицательно-частотная составляющая внешнего ЭМП и положительно-частотная составляющая вакуумного случайного ЭМП. При излучении и последующем поглощении электроном виртуального фотона в расчетном выражении фигурируют положительно-частотная и отрицательно-частотная составляющие вакуумного ЭМП.

Возникает вопрос, почему при расчете состояний электрона в атоме водорода не учитывается случайное ЭМП? Дело в том, что при указанном расчете мы абстрагируемся от случайного вакуумного ЭМП и внешних ЭМ полей термического или иного характера. Учет первого из названных полей приводит к сохранению лишь одного электронного $1s_{1/2}$-состояния с наименьшей энергией. Учет влияния обоих названных полей приводит к смешанному состоянию с возможностью обнаружения электрона в различных квантовых состояниях.

Влияние внешнего и вакуумного полей на переходы электрона в новые энергетические связанные состояния с излучением или поглощением фотона нашло отражение в формуле для соотношения вероятностей указанных переходов, (см. Л-Л, "Теор. физика", т.IV, 1980, форм. (44.6)). Эта формула в случае частоты внешнего поля, равной частоте спонтанного излучения, имеет вид

$$\frac {w_{\text{изл}}} {w_{\text{погл}}}=\frac {N_n+1}{N_n}.$$

Здесь $N_n$ - число фотонов внешнего излучения в единице объема.
Указанная формула показывает, что плотность фотонов нулевого вакуумного состояния равна 1, а не 1/2, как принято считать.

[Munin]

Lvov в сообщении #877065 писал(а):

В первом случае используется (квази)классический метод вычисления волновой функции...
Во втором случае обычно используется метод вторичного квантования

Вы не понимаете, что это не разные методы решения, а принципиально разные постановки задач. И изучаются они вообще разными теориями: квантовой механикой (КМ) и квантовой теорией поля (КТП).

[Lvov]

Munin в сообщении #877077 писал(а):

Вы не понимаете, что это не разные методы решения, а принципиально разные постановки задач. И изучаются они вообще разными теориями: квантовой механикой (КМ) и квантовой теорией поля (КТП).

Спасибо, понял. Только почему вы не упомянули КЭД в ряду с КТП?

[Munin]

Потому что КЭД - это часть КТП. Сказав "КТП", я при этом упомянул и все её разновидности.

Самое главное, чего вы не поняли - это чем КТП отличается от КМ.

В КМ физическая система - это несколько частиц. Они движутся, и их состояние и движение описывается волновыми функциями, но сам состав системы - сколько и каких частиц - неизменен.

В КТП физическая система - это набор физических полей. Каждое поле может содержать какие-то соответствующие частицы (электромагнитное - фотоны, электронное поле Дирака - электроны и позитроны), но здесь частица - не неизменная часть физической системы, а только состояние физического поля. Когда поле изменяет состояние, то частицы могут возникать и исчезать. В одной задаче может быть разное число частиц, неопределённое число частиц, бесконечное число частиц.

Разные разновидности КТП отличаются конкретным набором физических полей. Например, КЭД - это теория двух полей: электромагнитного и электронного. Кроме того, в КЭД могут быть добавлены другие поля заряженных частиц (мюоны, протоны и т. д.), при условии, что все они взаимодействуют только с электромагнитным полем. Но не всегда такие добавки хорошо отвечают экспериментам.

В реальности, как и в КТП, частицы могут возникать и исчезать. Только при низких энергиях процессов, когда эти энергии $\ll mc^2$ (порога рождения), явлениями возникновения и исчезновения частиц можно пренебречь - тогда набор частиц становится неизменным, и можно пользоваться приближением КМ. Но у некоторых частиц порог рождения очень мал, и такого приближения не происходит. Например, у фотонов порог рождения ровно нулевой ($m=0$), и поэтому вообще все задачи с фотонами необходимо рассматривать на уровне КТП.

[Lvov]

Munin в сообщении #877102 писал(а):

Самое главное, чего вы не поняли - это чем КТП отличается от КМ.
В КМ физическая система - это несколько частиц. Они движутся, и их состояние и движение описывается волновыми функциями, но сам состав системы - сколько и каких частиц - неизменен.

Я понимал КТП и КЭД как описание квантовой системы с переменным числом "частиц", которые представляются квантованными полями в различных состояниях. При этом важную роль в КТП играет метод вторичного квантования полей, заключающийся в широком использовании операторов рождения и уничтожения частиц.

Однако указанные теории представляются мне излишне формализованными, и мало отражающими физическую сущность явлений.
В рамках настоящей темы я пытаюсь сделать описание квантовых явлений более прозрачным с физической точки зрения. При этом квантовые скачки и операторы рождения-уничтожения частиц исключаются из рассмотрения, и делается упор на непрерывное взаимодействие электронно-позитронных и электромагнитных полей, в числе которых важную роль играют случайные вакуумные поля, широко проявляющие себя в квантовых процессах.

Волновые функции представляются относительно точным отражением реальных физических полей. Они позволяют определять физические показатели "частиц" и вероятности их обнаружения в определенных состояниях.

В количественном выражении интенсивность случайных вакуумных ЭМ полей при этом представляется вдвое большей, чем принято считать в КТП. А именно, каждая спектральная составляющая вакуумного ЭМП характеризуется средней энергией $\hbar \,\omega,$ а не половиной от указанной величины.

[Munin]

Lvov в сообщении #877463 писал(а):

Я понимал КТП и КЭД как описание квантовой системы с переменным числом "частиц", которые представляются квантованными полями в различных состояниях. При этом важную роль в КТП играет метод вторичного квантования полей, заключающийся в широком использовании операторов рождения и уничтожения частиц.

Вы произносите правильные слова, но очень уж гладко. Я думаю, вы совершенно не понимаете их смысла. Просто повторяете откуда-то.

Кавычки вокруг частиц не нужны.

Lvov в сообщении #877463 писал(а):

Однако указанные теории представляются мне излишне формализованными, и мало отражающими физическую сущность явлений.

Ну вот, если бы вы понимали эти слова, вы бы понимали, как они отражают физическую суть явлений. Например, рождение и уничтожение фотонов - повседневное дело. В каждом излучающем или поглощающем атоме это происходит. Рождение и уничтожение электронов и позитронов - тоже бывает часто, хотя уже при сравнительно высоких энергиях. В ускорителях рождают кучи более массивных частиц: мезонов, протонов, резонансов, доходит даже до $W,Z$-бозонов и $t$-кварка. Ах да, и до бозона Хиггса.

Явления, в которых рождаются частицы, должны описываться теориями, в которых рождаются частицы. Это очевидно.

Lvov в сообщении #877463 писал(а):

В рамках настоящей темы я пытаюсь сделать описание квантовых явлений более прозрачным с физической точки зрения.

Да все уже давно поняли, что вы ничего не понимаете в описании квантовых явлений (как и в квантовых явлениях самих по себе), и ничего не можете сделать более прозрачным, даже для самого себя. Ваши мантры никого, кроме вас самого, не убеждают.

Lvov в сообщении #877463 писал(а):

Волновые функции представляются относительно точным отражением реальных физических полей. Они позволяют определять физические показатели "частиц" и вероятности их обнаружения в определенных состояниях.

Ну да. При низких энергиях. А при высоких - нет. Расчёты перестают совпадать с экспериментом. Поэтому нужны другие средства.

Например, аннигиляция электрона и позитрона $e^-+e^+\to 2\gamma.$ В начале там просто нет никаких фотонов, и нет никаких их волновых функций. А в конце - нет электрона и позитрона, и нет их волновых функций.

[Lvov]

Munin в сообщении #877537 писал(а):

Вы произносите правильные слова, но очень уж гладко. Я думаю, вы совершенно не понимаете их смысла. Просто повторяете откуда-то.

Кавычки вокруг частиц не нужны.

Естественно, слова, которые мне кажутся убедительными, я беру из различных источников. Думаю даже, кое-что понимаю.

Частицу в кавычках я выискал в Википедии в статье "Квантовая теория поля". Вот в этой фразе:
"В отличие от квантовой механики, «частицы» как некие неуничтожаемые элементарные объекты в КТП отсутствуют. Вместо этого основные объекты здесь — векторы фоковского пространства, описывающие всевозможные возбуждения квантового поля".

Я эти слова воспринял как отрицание в КТП частиц-корпускул и, вообще, квантового дуализма. Существует лишь квантованные поля частиц в различных состояниях. Такая мысль мне близка, только поля я считаю не обязательно квантованными.
Но с другой стороны физики экспериментаторы в основном занимаются обнаружением различных квазиточечных частиц-корпускул. Как же все это понимать?

[Munin]

Lvov в сообщении #877668 писал(а):

Естественно, слова, которые мне кажутся убедительными, я беру из различных источников.

Если бы речь шла о понимании, вы бы пересказывали суть своими словами, а не цитировали разные источники.

Lvov в сообщении #877668 писал(а):

Я эти слова воспринял как отрицание в КТП частиц-корпускул

А надо было не читать Википедию вообще.

Как насчёт почитать учебник? А?

Lvov в сообщении #877668 писал(а):

Такая мысль мне близка

Только это не мысль, а сочетание слов. Мысли за этим не стоит, и у вас в голове - тоже.

Lvov в сообщении #877668 писал(а):

Но с другой стороны физики экспериментаторы в основном занимаются обнаружением различных квазиточечных частиц-корпускул. Как же все это понимать?

Долго и с трудом. Для начала, стоит изучить квантовую механику, и волновые пакеты.

[Lvov]

Lvov в сообщении #877065 писал(а):

Влияние внешнего и вакуумного полей на переходы электрона в новые энергетические связанные состояния с излучением или поглощением фотона нашло отражение в формуле для соотношения вероятностей указанных переходов, (см. Л-Л, "Теор. физика", т.IV, 1980, форм. (44.6)). Эта формула в случае частоты внешнего поля, равной частоте спонтанного излучения, имеет вид

$$\frac {w_{\text{изл}}} {w_{\text{погл}}}=\frac {N_n+1}{N_n}.$$

Здесь $N_n$ - число фотонов внешнего излучения в единице объема.
Указанная формула показывает, что плотность фотонов нулевого вакуумного состояния равна 1, а не 1/2, как принято считать.

Г.Munin, ваши замечания понятны, но они слишком общи и не конкретны.
А что вы и другие участники форума можете сказать касательно цитированного здесь фрагмента из стартового сообщения? Какова плотность фотонов в каждом нулевом вакуумном спектральном состоянии: 1/2 или 1?

[Munin]

Lvov в сообщении #878539 писал(а):

Г.Munin, ваши замечания понятны, но они слишком общи и не конкретны.

Чего вам неконкретно в здесь: post877102.html#p877102 ? А в здесь: post877537.html#p877537 ?

Lvov в сообщении #878539 писал(а):

А что вы и другие участники форума можете сказать касательно цитированного здесь фрагмента из стартового сообщения?

Глупый, бессмысленный фрагмент. Удаётся придать смысл не больше чем отрывкам по 2-3 слова длиной.

Lvov в сообщении #878539 писал(а):

Какова плотность фотонов в каждом нулевом вакуумном спектральном состоянии: 1/2 или 1?

0.

-- 23.06.2014 10:32:15 --

Кстати, понятно, почему у вас мусор в голове:

Наверняка вы читали только ЛЛ-4. Это плохой учебник. Я сам его читал, и не понимал сути.

Нужно прочитать хороший учебник. Причём таких вообще почти нет.

[Lvov]

Munin в сообщении #878551 писал(а):

Цитата:

Lvov в сообщении #878539 писал(а):
Какова плотность фотонов в каждом нулевом вакуумном спектральном состоянии: 1/2 или 1?

0.
Кстати, понятно, почему у вас мусор в голове:
Наверняка вы читали только ЛЛ-4. Это плохой учебник.

Munin, практикуя оскорбления, вы уходите от конкретики. Думаю, вы понимаете, что речь идет не о числе наблюдаемых фотонов в вакуумных состояниях, а о присущей вакууму энергии нулевых вакуумных состояний, которая по моему мнению ошибочно считается равной $\hbar\,\omega/2$ в то время как на самом деле она вдвое больше.
Что касается литературы в части КЭД и КТП, то кроме ЛЛ-4 (1980) я смотрю Ахиезер-Берестецкий (1969), Левич-Вдовин-Мямлин (1971) и Боголюбов-Ширков (1980). При этом отмечаю, что, если в более старых изданиях Ахиезера и Левича имеется определенная толика осмысливания физических явлений, то для более поздних источников характерен более формальный математический подход.

-- 23.06.2014, 20:52 --

Munin в сообщении #878551 писал(а):

Чего вам неконкретно в здесь: post877102.html#p877102 ? А в здесь: post877537.html#p877537 ?

Вы излагаете известные положения из учебников, но не касаетесь моего варианта квазиклассического решения задачи рассеяния частиц.

[Munin]

Lvov в сообщении #878861 писал(а):

Вы излагаете известные положения из учебников, но не касаетесь моего варианта квазиклассического решения задачи рассеяния частиц.

Потому что у вас нет никакого варианта. У вас есть непонимание, что такое квантовое поле.

Попробуем обсудить мои пояснения "на пальцах", которые я здесь уже на нескольких читателях обкатал:
post676379.html#p676379
post676406.html#p676406
post676476.html#p676476

Прочитайте. Скажите, что непонятно.

Lvov в сообщении #878861 писал(а):

Что касается литературы в части КЭД и КТП, то кроме ЛЛ-4 (1980) я смотрю Ахиезер-Берестецкий (1969), Левич-Вдовин-Мямлин (1971) и Боголюбов-Ширков (1980).

Это хорошие книги. Жаль, что вы в них всё равно ничего не поняли.

[Lvov]

Munin в сообщении #878959 писал(а):

у вас нет никакого варианта. У вас есть непонимание, что такое квантовое поле.

Попробуем обсудить мои пояснения "на пальцах", которые я здесь уже на нескольких читателях обкатал:
post676379.html#p676379
post676406.html#p676406
post676476.html#p676476

Прочитайте.

Г.Munin, в указанных выше сообщениях вы хорошо осветили современное состояние математического формализма релятивистской квантовой теории. Но ваши пояснения не касаются настоящей темы, в которой я в дискуссионном плане предложил альтернативный вариант решения задачи рассеяния частиц.
Поскольку в своих сообщениях вы уже высказали свое мнение по поводу моего варианта решения задачи рассеяния частиц, а другие участники форума не изъявили желания принять участие в обсуждении вопроса, благодарю вас за сообщения, и прошу считать тему исчерпанной.

[Munin]

Lvov в сообщении #879219 писал(а):

Г.Munin, в указанных выше сообщениях вы хорошо осветили современное состояние математического формализма релятивистской квантовой теории.

Мне плевать, что я там осветил.

Меня интересует, что из этого вы поняли, а что не поняли.

Lvov в сообщении #879219 писал(а):

Но ваши пояснения не касаются настоящей темы

Касаются.

Ответьте, что вы поняли, а что вы не поняли.

Уход от ответа я считаю признанием, что вы ничего не поняли. Если вы ничего не поняли - разговаривать с вами нет смысла, а данную тему надо снести в "Пургаторий" как невежество и лженауку.

Надеюсь, это вас простимулирует перестать увиливать.

[Lvov]

Munin в сообщении #879238 писал(а):

Ответьте, что вы поняли, а что вы не поняли.

Уход от ответа я считаю признанием, что вы ничего не поняли. Если вы ничего не поняли - разговаривать с вами нет смысла, а данную тему надо снести в "Пургаторий" как невежество и лженауку.

Надеюсь, это вас простимулирует перестать увиливать.

Munin, это вы увиливаете от обсуждения поднятых в теме вопросов, избегая конкретики. Не разобравшись в предложенном варианте решения задачи рассеяния частиц и голословно охаяв предложенный вариант и автора, вы пытаетесь подменить рассматриваемую проблему обсуждением вопросов математического формализма релятивистской квантовой теории и, объявив предложенный вариант лженаукой, грозитесь отправить тему в пургаторий.
И это при названии ветки форума "Дискуссионные темы".