интегральные инварианты абсолютные и относительные

[Oleg Zubelevich]

Данная конструкция обобщает теоремы вроде Гельмгольца-Томпсона, всякие сохранения вихрей, уравнение неразрывности и т.п.
Рассуждения локальные, вместо произвольного гладкого многообразия будем рассматривать пространство $\mathbb{R}^m$ с криволинейными координатами $x=(x^i)$.

Через $v=(v^i),\quad v^i=v^i(x)$ обозначим векторное поле с фазовым потоком $g^t$. Все встречающиеся функции являются гладкими в $\mathbb{R}^m$.

Пусть $\omega$ -- $k$-форма и $S\subset\mathbb{R}^m$ -- гладкое $k$-метрное подмногообразие, $k\le m$.

Теорема 1.

$$\frac {d}{dt}\Big|_{t=0}\int_{g^t(S)}\omega=\int_SL_v\omega.$$

В правой части под интегралом стоит производная Ли.

Доказательство проведем для случая когда многообразие $S$ покрывается одной картой. Через $u:D\to\mathbb{R}^m$ обозначим вложение $S$ в $\mathbb{R}^m$, $ D\subset\mathbb{R}^k$ -- область; $u(D)=S$.
Тогда $\int_{g^t(S)}\omega=\int_D(g^t\circ u)_*\omega=\int_D (u_*\circ g^t_*)\omega$ и

$$\frac {d}{dt}\Big|_{t=0}\int_D (u_*\circ g^t_*)\omega=\int_D u_*\frac {d}{dt}\Big|_{t=0}g_*^t\omega=\int_Du_*( L_v\omega).$$

ЧТД

Определение.
1) Дифференциальная $k-$ форма $\omega$ называется абсолютным интегральным инвариантом системы $\dot x=v(x)$ , если $L_v\omega=0$.

2) Дифференциальная $k-$форма называется относительным интегральным инвариантом данной системы, если существует такая $k-1$ форма $\Omega$, что $L_v\omega=d\Omega$.


Заметим, что если $\omega$ -- относительный интегральный инвариант то $d\omega$ -- абсолютный интгральный инвариант.

Теорема 2.

1) Форма $\omega$ является абсолютным интегральным инвариантом тогда и только тогда, когда
для любого $k-$мерного многообразия $S$ интеграл

$$\int_{g^t(S)}\omega$$

не зависит от времени.

2) Форма $\omega$ является относительным интегральным инвариантом тогда и только тогда, когда
для любого $k-$мерного замкнутого компактного многообразия $M,\quad \partial M=\emptyset$ (цикла) интеграл

$$\int_{g^t(M)}\omega$$

не зависит от времени.

Доказательство 1) -- очевидно; доказательство 2) использует формулу Стокса и теорему де Рама.

Пример. Рассмотрим гамильтонову систему с гамильтонианом $H(p,q,t),\quad p,q\in\mathbb{R}^n$. В данносй системе $x=(p,q,t),\quad v=(-H_q,H_p,1).$
теорема 2 превращается в хорошо известную теорему об относительном интегральном инварианте Пуанкаре-Картана: $\omega=pdq-Hdt,\quad L_v\omega=d(pH_p-H)$.

-- Чт июн 19, 2014 21:11:35 --

Литература по теме:
1) Э. Картан Интегральные инварианты
2) В. В. Козлов Общая теория вихрей

[Munin]

Oleg Zubelevich в сообщении #877361 писал(а):

Литература по теме:
1) Э. Картан Интегральные инварианты
2) В. В. Козлов Общая теория вихрей

Это книги или статьи?

Вообще, красиво. Можете привести пример не из механики, а из электродинамики? (Это классическая модельная теория поля.)

[Oleg Zubelevich]

Munin в сообщении #877420 писал(а):

а из электродинамики

в этом я ничего не понимаю, приложения к электродинамике и к механике жидкости обсуждаются у Седова в первом томе в очень архаичных терминах и с весьма неформальными доказательствами. Но выудить это оттуда и переписать в терминах дифференциальных форм можно.

Munin в сообщении #877420 писал(а):

Это книги или статьи?

книги

[Munin]

Oleg Zubelevich в сообщении #877480 писал(а):

приложения к электродинамике и к механике жидкости обсуждаются у Седова в первом томе

Можете ткнуть пальцем в конкретное место? Заранее спасибо.

[Oleg Zubelevich]

гл 6 основные понятия и уравнения электродинамики параграф 7 Законы вмороженности магнитных и вихревых линий

[Oleg Zubelevich]

Неавтономная версия.

Предположим, что векторное поле $v$ и коэффициенты $k$-формы $\omega$ зависят явно от времени $t$. При этом координатное представлние $\omega$ не содержит $dt$. Только такие формы мы и будем рассматривать.
Векторное поле $v=v(t,x)$ нам будет удобно продолжить в пространство-время $\mathbb{R}_t\times \mathbb{R}^m=\{(t,x)\}$ следующим образом $\tilde v=(1,v^1,\ldots ,v^m)$
Это соответствует переходу от системы $\dot x=v$ к системе $\frac{dz}{d\tau}=\tilde v(z),\quad z=(t,x),\quad\frac{dt}{d\tau}=1.$ Система в переменных $z$ автономна. Через $\tilde g^\tau$ будем обозначать фазовый поток этой системы действующий в $\mathbb{R}^{m+1}$.
Отметим, что на гиперплоскости этот фазовый поток действует следующим образом: $\tilde g^{\tau}(\{t=const\})=\{t+\tau=const\}$

Легко видеть, что на дифференциальные формы производная Ли действует по формуле:

$$L_{\tilde v}=\frac{\partial }{\partial t}+L_v,$$

где $\frac{\partial }{\partial t}$ -- частное дифференцирование по времени коэффициентов формы; оператор $L_v$ берется по переменным $x$. Оператор $L_{\tilde v}$ действует в пространстве-времени.

Через $d_x$ будем обозначать оператор дифференцирования по переменным $x$.

Определение (неавтономный случай).
1) Дифференциальная $k-$ форма $\omega$ называется абсолютным интегральным инвариантом системы $\dot x=v(t,x)$ , если $L_{\tilde v}\omega=0$.

2) Дифференциальная $k-$форма называется относительным интегральным инвариантом данной системы, если существует такая $k-1$ форма $\Omega$, что $L_{\tilde v}\omega=d_x\Omega$.
И форма $\Omega$ не содежит $dt$.

Заметим, что если $\omega$ -- относительный интегральный инвариант то $d_x\omega$ -- абсолютный интгральный инвариант.

Теорема 3.

1) Если форма $\omega$ является абсолютным интегральным инвариантом то
для любого $k-$мерного многообразия $S$, интеграл

$$\int_{\tilde g^\tau(S)}\omega$$

не зависит от $\tau$. Верно и обратное.

2) Если форма $\omega$ является относительным интегральным инвариантом то
для любого $k-$мерного замкнутого компактного многообразия $M,\quad \partial M=\emptyset$, лежащего в гиперплоскости $\{t=const\}$, интеграл

$$\int_{\tilde g^\tau(M)}\omega$$

не зависит от $\tau$. Верно и обратное.

[scwec]

Насчет литературы. Для тех, кто заинтересовался изложенным.
Есть книга Э.Картан "Интегральные инварианты" 1940 года издания.
Есть книга, состоящая из двух частей:1- Э.Картан "Интегральные инварианты" (копия 1940 года), 2- В.В.Козлов "Интегральные инварианты после Пуанкаре и Картана" - у меня 2005 года издания. Обе части в одной книге.
Удобней работать с ней.

[Munin]

Книга из двух частей - в электронном виде бывает?

[scwec]

У меня бумажная, а в электронном не встречал.
Вторая часть здесь
http://ics.org.ru/doc?pdf=2282&dir=r