durapy писал(а):
А как вы пришли к такому разложению на множители? Есть какой-то способ, или это просто метод пристального взгляда?
Можно попробовать таким способом, не гарантирующим, однако, успеха.
Попытаемся разложить наш многочлен на множители второй и третьей степени с целыми коэффициентами:
![$$(x^2-1)^2(x+2)-1=x^5+2x^4-2x^3-4x^2+x+1=(x^2+ax+b)(x^3+cx^2+dx+e)=x^5+(a+c)x^4+(b+ac+d)x^3+(bc+ad+e)x^2+(bd+ae)x+be$$ $$(x^2-1)^2(x+2)-1=x^5+2x^4-2x^3-4x^2+x+1=(x^2+ax+b)(x^3+cx^2+dx+e)=x^5+(a+c)x^4+(b+ac+d)x^3+(bc+ad+e)x^2+(bd+ae)x+be$$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/e/b/3eb0e684872cf028fc4234b244ff535082.png)
.
Сравнивая коэффициенты слева и справа, получаем систему уравнений
Из последнего уравнения видим, что либо
![$b=e=1$ $b=e=1$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/f/5/af57928f0c7f5f38daaf04ee70f1eacf82.png)
, либо
![$b=e=-1$ $b=e=-1$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/3/a/c3ac5e0610b32f6778a72620eb704abc82.png)
. Подставляя каждую пару в предыдущие уравнения, после некоторой возни получаем требуемое разложение.