Готовлюсь к экзамену по Матану.

[frankenstein]

Добрый день!
Не знаю можно ли так делать, но я хочу завести эту тему и выкладывать сюда задачи, прошлогодних
экзаменационных билетов, а так же пытаться их решить.
Какая для меня от этого выгода? Надеюсь что люди сильные в матане скажут что я делаю не так, или
сделают замечания по решениям.
Думаю тема станет хорошим ресурсом и для тех, кто как я готовится к экзаменам.
Я считаю что задачи будут не совсем задачи, а скорее упраженения для освеженевания знаний .
Ну что ж, поехали.

Первый билет: Задача №2
Требуется изготовить цилиндрическую консервную банку объемом 100 см. куб., так, чтобы площадь поверхности ее стенок была минимальной. Какими при этом должны быть по величине высота и диаметр банки:
Как я решаю:
Можно сказать, (?) что задача на оптимизацию.
Дано:
$ V = \frac{1}{4} \pi d^2 h $
$ S = \pi d h $
Найти
$h, d$ : $V = 100$, а $S \to \max$ (Надеюсь я правильно все описал)

$ \frac{1}{4} \pi d^2 h = 100 $
Это равенство связывает между собой переменные h и d. Или как правильно это сказать?
Выразим h через d и подставим в формулу S:
$ S(h) = 400 d^{-1} $ Но теперь получается что минимум этой функции, достигается лишь при $d \to \infty$
Тогда, ответ:
$ d \to \infty h \to 0 $, хотя будет ли при этом соблюдаться условие $V = 100$

[mihailm]

У банки - ни дна, ни покрышки)

[frankenstein]

Получается что так )

[mihailm]

Добавьте. Как вы там консервы будете хранить?

[svv]

Или хотя бы дно, если консервная банка будет использоваться в качестве посуды.

[frankenstein]

Знаю для вас эта задача фигня, и единственной утехой является то, что вы как-то
шутите над условием. Но я сделал пост, чтобы вы указали тонкости оформления решения.
Или сказали что я вообще неправильно решаю.

[Aritaborian]

Над вами не просто шутят. Вам указывают, что вы неправильно поняли условие. У банки должно быть хотя бы дно. Отразите этот факт в своих уравнениях.

[ewert]

Aritaborian в сообщении #876888 писал(а):

У банки должно быть хотя бы дно.

Не надо так шутить. Хотя бы два дна (речь ведь всё-таки о производственном процессе).

[Aritaborian]

Если банка жестяная. А ежели стеклянная, с отдельной крышкой? Можно (ну, в принципе ;-) рассмотреть оба варианта.

[svv]

frankenstein в сообщении #876714 писал(а):

$\begin{array}{l}d \to \infty\\h \to 0\end{array}$, хотя будет ли при этом соблюдаться условие $V = 100$

Конечно, условие $V=100$ только из $d\to\infty$ и $h\to 0$ никак не следует. Можно так устремить $d\to\infty$ и $h\to 0$, что $\frac{1}{4} \pi d^2 h$ будет стремиться к любому числу, в том числе $0$, или к бесконечности, или даже к минус бесконечности, а можно и так, что оно и вовсе не будет иметь предела. К этому здесь не предъявляют замечаний потому, что такой результат — следствие плохо поставленной задачи или неверно понятого условия (выбросьте слова «ее стенок»).

[mihailm]

frankenstein,

frankenstein в сообщении #876714 писал(а):

$ S = \pi d h $

Это в решении неверно

[TOTAL]

mihailm в сообщении #876716 писал(а):

У банки - ни дна, ни покрышки)

Откуда следует, что у банки нет дна? В условии говорится только о материале, расходуемом на стенки. Видимо, дно сделано из чего-то другого, чего имеется в неограниченном количестве, что не стоит ни копейки.

[mihailm]

Ниоткуда, но решать то надо. Вряд ли приведенное решение удовлетворит препода. Или предлагаете судиться?

[TOTAL]

mihailm в сообщении #877079 писал(а):

Ниоткуда, но решать то надо. Вряд ли приведенное решение удовлетворит препода. Или предлагаете судиться?

Какую именно задачу решать? Даже если только про площадь стенок говорить, то имеется в виду площать с обеих сторон стенки или только снаружи?