Число решений уравнения

[mihiv]

Пусть $p$ произвольное простое число. Доказать, что уравнение

$$x^2=p^{4y+1}+p^{2y}+1$$

может иметь только конечное число решений в натуральных числах $(x,y)$.

[Sonic86]

Можно и все решения найти. Достаточно рассмотреть случаи $p=2\vee p>2$ и 2 варианта делимости $x\pm 1$ на $p^{2y}$ при $p>2$ и на $p^{2y-1}$ при $p=2$ (и еще отдельно случай $y=0$, чтобы было чему делить). Решения есть только при $p=2, 2^{2y-1}\mid x+1$ + еще решение для $y=0$.

[mihiv]

Sonic86, можно подробнее пояснить, почему нет решений при $p>2$?

[nnosipov]

По-моему, решений не будет и у уравнения $x^2-1=p^z(p^{z+1}+1)$, где $p>2$ --- простое. Грубо говоря, потому, что $x$ должно быть порядка $p^{2z}$. А вот при $p=2$ --- будут, это, кстати, одна из задач 47 IMO.

[Sonic86]

mihiv в сообщении #876559 писал(а):

Sonic86, можно подробнее пояснить, почему нет решений при $p>2$?

Пусть $y>0$
$x^2=p^{4y+1}+p^{2y}+1\Leftrightarrow (x-1)(x+1)=p^{2y}(p^{2y+1}+1)$
$y>0, p>2$, значит $p^{2y}$ делит либо $x-1$, либо $x+1$.
Для простоты рассмотрим только 1-й случай: $p^{2y}|x-1\Leftrightarrow x=1+up^{2y},p\nmid u$. Подставим:
$up^{2y}(up^{2y}+2)=p^{2y}(p^{2y+1}+1)\Leftrightarrow$
$u(up^{2y}+2)=p^{2y+1}+1$
С одной стороны
$up^{2y}+2 \leqslant u(up^{2y}+2)=p^{2y+1}+1\Rightarrow u\leqslant p-\epsilon \Rightarrow u<p$
С другой стороны
$2u\equiv 1\pmod{p^2}\Rightarrow p^2\mid 2u-1\Rightarrow p^2\leqslant 2u-1$
Зажимаем:
$p^2\leqslant 2u-1, u<p \Rightarrow p^2<2p-1\Leftrightarrow (p-1)^2<0$
2-й случай рассматривает аналогично.
А при $y=0$ получаем $(x-1)(x+1)=p$, откуда $x=2$, так что одно решение с $p>2$ все-таки есть

[nnosipov]

Sonic86 в сообщении #877083 писал(а):

А при $y=0$ получаем $(x-1)(x+1)=p$

При $y=0$ будет $x^2-2=p$. Спокойнее считать, что ноль не является натуральным.

[Sonic86]

nnosipov в сообщении #877094 писал(а):

При $y=0$ будет $x^2-2=p$. Спокойнее считать, что ноль не является натуральным.

Ой, да, точно.

[mihiv]

nnosipov,Sonic86, спасибо! Еще такой вопрос, а если уменьшить показатель степени во втором слагаемом справа, например, для уравнения:

$$x^2=y^{4y+1}+p^{\frac 32y}+1,$$

(предположим, что $y$ четное) можно ли доказать отсутствие решений?

[nnosipov]

Как мне кажется, для уравнения $x^2=p^b+p^a+1$ при $2a \leqslant b \leqslant 4a$ решений нет.