Площадь, полярные координаты. Объем.

[Don-Don]

1) Найти площадь, ограниченную $\rho^2+\varphi^2=1$



Верно ли будет так?

$S=4\cdot 0,5\int\limits_0^{\pi/2}(1-\varphi^2)d\varphi$

2) Найти объем, ограниченный $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{z^2}=1$

Как эта штука будет выглядеть? В проекции на $xOy$ будет эллипс, в проекции на $yOz$ будет две прямые, в проекции на $xOz$ , будет совсем хитрая штука. Как это все можно вообразить? Или же реально без рисунка вычислить?

[svv]

1) $\rho^2\geqslant 0$, поэтому при $\varphi>1$ уравнение не имеет решений относительно $\rho$, так что верхний предел $1$.
Если считать, что $\varphi$ меняется в пределах от $-\pi$ до $+\pi$ (с пределами от $0$ до $2\pi$ замкнутой кривой не получится), то синяя ветвь кривой отбрасывается, так как левее оси $Oy$ будет $|\varphi|>\frac{\pi}{2}>1$. Значит, умножаем не на $4$, а на $2$.

[svv]

2) А ограничивает ли эта поверхность конечный объем?

[Don-Don]

svv в сообщении #877032 писал(а):

1) $\rho^2\geqslant 0$, поэтому при $\varphi>1$ уравнение не имеет решений относительно $\rho$, так что верхний предел $1$.
Если считать, что $\varphi$ меняется в пределах от $-\pi$ до $+\pi$ (с пределами от $0$ до $2\pi$ замкнутой кривой не получится), то синяя ветвь кривой отбрасывается, так как левее оси $Oy$ будет $|\varphi|>\frac{\pi}{2}>1$. Значит, умножаем не на $4$, а на $2$.

Спасибо.

То есть $S=2\cdot 0,5\int\limits_0^{1}(1-\varphi^2)d\varphi$ ? Про $\varphi>1$ понял.

А почему при $0$ до $2\pi$ замкнутой кривой не получится? Только что-то по графику похоже как будто на $\varphi$ нет ограничений, тогда $\varphi\in (-\pi;\pi]$ или же $(0;\pi]$, пока что не могу понять различияю

-- 19.06.2014, 11:44 --

svv в сообщении #877038 писал(а):

2) А ограничивает ли эта поверхность конечный объем?

Ох, не знаю, видимо должна, у меня не получается нарисовать. Брал $a=1$, только проекции делал, целостной фигуры из них представить не удалось...

[ИСН]

1) Ваш график строился левой ногой. Из него явствует, например, что на углу $\varphi=\pi$ будет то же самое значение $\rho$, что и на $\varphi=0$. Правда ли это? Может ли такое быть? Согласуется ли это с уравнением?
(Я понимаю, почему так произошло, но это не делает неправду правдой.)
2) А придётся.

[Munin]

2) При $z=\mathrm{const}$ это уравнение описывает ... полуоси которого равны ...

Кстати, найти проекцию по уравнению - совсем не простая задача...

[ИСН]

А, ну да. Проекции строить не надо и всё равно не получится. Сечения надо.

[Don-Don]

2) Ой-ой-ой-ой. Во второй задаче забыл написать ограничение $0<z<a$!!!

-- 19.06.2014, 12:00 --

ИСН в сообщении #877116 писал(а):

1) Ваш график строился левой ногой. Из него явствует, например, что на углу $\varphi=\pi$ будет то же самое значение $\rho$, что и на $\varphi=0$. Правда ли это? Может ли такое быть? Согласуется ли это с уравнением?
(Я понимаю, почему так произошло, но это не делает неправду правдой.)
2) А придётся.

Такого быть не может, потому как не согласуется с уравнением, а почему так произошло?

Munin в сообщении #877117 писал(а):

2) При $z=\mathrm{const}$ это уравнение описывает ... полуоси которого равны ...

Кстати, найти проекцию по уравнению - совсем не простая задача...

При $z=const$ будет эллипс, при $x=const$ будет две прямые. При $y=const$ какая-то странная штука

[Munin]

Don-Don в сообщении #877119 писал(а):

При $z=const$ будет эллипс

Правильно. А второй пробел заполнить? (Исследовать при $x=\mathrm{const}$ и при $y=\mathrm{const}$ я не просил. Вам всё станет ясно, если дорассмотрите случай $z=\mathrm{const}.$)

[Don-Don]

Попробовал по точкам построить график в 1 задаче



-- 19.06.2014, 12:33 --

Munin в сообщении #877126 писал(а):

Don-Don в сообщении #877119 писал(а):

При $z=const$ будет эллипс

Правильно. А второй пробел заполнить? (Исследовать при $x=\mathrm{const}$ и при $y=\mathrm{const}$ я не просил. Вам всё станет ясно, если дорассмотрите случай $z=\mathrm{const}.$)

В смысле пробел? То что не сказал, что при $z=a$ будет окружность?

[ИСН]

Don-Don в сообщении #877119 писал(а):

Такого быть не может, потому как не согласуется с уравнением, а почему так произошло?

Потому что график строился левой ногой. Потому что Вас что просили, график или площадь? Площадь. Знаете, какой нужен интеграл? Да, вот он выше написан. Ну вот его возьмите, и дело с концом. А график не нужен. Не.
Некоторые системы допускают отрицательные значения $\rho$ - "любой каприз за ваши деньги". Вот потому. Этого не нужно.
А во второй не надо никаких пробелов. Нарежьте колбасу вдоль z, да интегрируйте.

[Don-Don]

Площадь эллипса $\pi\cdot a\cdot b$

Нарезать так и интегрировать?

$V=\int_0^a \pi a z dz=\dfrac{\pi a^3}{2}$

[ИСН]

Кажись, так, да.

[Don-Don]

ИСН в сообщении #877186 писал(а):

Кажись, так, да.

Спасибо! То есть и рисовать не нужно картинку даже?

[ИСН]

А зачем? Рисовать полезно для себя, для reality check, чтобы не путать хобот с хвостом. Но если рисование само по себе требует больше усилий, чем решение, то польза от него сводится к нулю.