Квадратичная форма (характер стационарной точки)

[@lximik]

Есть матрица Гессе(4*4) у которой угловые миноры первого,второго и третьего порядка равны 0, четвртого порядка(дерерминант) равен 1. Как определить отрицательна или положительна эта квадратичная форма. В критерии Сильвестра ничего не сказано про равенсто нулю угловых миноморов. Может есть другие критерии?

Матрица Гессе:
0 0 1 1
0 0 0 1
1 0 0 1
1 1 1 0

[Brukvalub]

Квадратичная форма с такой матрицей не является знакоопределённой. Ведь критерий Сильвестра является необходимым и достаточным условием знакоопределённости. и "обойти" его с помощью другого критерия не удастся

[@lximik]

И как мне тогда определить характер стационарной точки?

[Brukvalub]

@lximik писал(а):

И как мне тогда определить характер стационарной точки?

Попробуйте "вручную" поизучать функцию в окрестности стационарной точки.

[@lximik]

Brukvalub писал(а):

@lximik писал(а):

И как мне тогда определить характер стационарной точки?

Попробуйте "вручную" поизучать функцию в окрестности стационарной точки.

не это не катит...у меня численные методы... ...когда ИИ изобретут тогда попробую сказать компу "попробуй найти экстремум" =)
Вообще то..если серьезно то в критерии Сильвестра есть же такой пункт что если все собственные значения матрицы Гессе будут положительны то это квадратичная форма положительно определенная....но искать собственные значения матрицы чтобы определить хакактер стационарной точки это большой геморой...

[@lximik]

Отвечу сам на свой ворпос...мало ли кому пригодится... если исследуемая точка не удовлетворяет критерию Сильвеста...то не надо мучатся и искать другие критерии и способы определения ее характера ...это не минимум и не максимум это просто ТОЧКА ПЕРЕГИБА!

[Mikhail Sokolov]

@lximik
Берем функцию $f(x)=x^4$. Вторая производная в точке нуль = 0 (то есть критерий Сильвестра не выполнен). Но нуль не есть точка перегиба.

P.S. Или речь исключительно про квадратичные формы?

[bot]

Brukvalub писал(а):

Попробуйте "вручную" поизучать функцию в окрестности стационарной точки

Дык, зачем вручную? Если кв. форма невырождена и по критерию Сильвестра не является знакоопределённой, то она знакопеременная. Это означает, что в стационарной точке нет ни минимума ни максимума.

Другое дело, если бы квадратичная форма была бы вырождена. Критерий Сильвестра в этом случае не даёт ответа даже для полуопределённости.
Можно однако воспользоваться признаком Якоби (погуглите - найдёте, если не найдёте - скажу, а пока лень, да и для данного случая не требуется), который скажет, является ли кв. форма положительно (отрицательно) полуопределённой или знакопеременной. Последний случай даст отсутствие экстремума, а в случае, к примеру, положительной полуопределённости останется вручную проверить, а есть или нет в стационарной точке минимум - максимума ведь уже точно нет, поскольку есть собственное направление, в котором функция растёт.

Добавлено спустя 3 минуты 11 секунд:

В условиях, когда речь идёт о функции более чем одного переменного, о точках перегиба говорить не приходится.

[ИСН]

bot писал(а):

В условиях, когда речь идёт о функции более чем одного переменного, о точках перегиба говорить не приходится.

Очевидно, товарищ @lximik имел в виду "седловая точка".

[@lximik]

Рад такой активности... реч идет конечно же о функции многих переменных...и под точкой перегиба я понимал седловую точку. Всё таки хочется уточнить... я правильно сказал что...если не определить по критерию Сильвестра то это седловая точка? или что это за точка? её надо дополнительно анализировать? тогда как?

[bot]

Что говорится в критерии Сильвестра?

1) Кв. ф. положительно определена тогда и только тогда, когда все угловые миноры положительны.
2) Кв. ф. отрицательно определена тогда и только тогда, когда знаки угловых миноров чередуются, начиная с минуса.

Всякая кв.форма либо определена (положительно или отрицательно) либо полуопределена либо знакопеременна.
Если не выполнено ни 1) ни 2), то что осталось?
Либо знакопеременность либо полуопределённость. А если ещё добавить, что форма невырождена, то исключится случай полуопределённости - все собственные числа ненулевые, а они стоят при квадратах в каноническом виде.

Так что критерий Сильвестра удобно формулировать в такой форме:

Если кв. форма невырождена, то
1) если все угловые миноры положительны, то кв. ф. положительно определена.
2) если знаки угловых миноров чередуются, начиная с минуса, то кв. ф. отрицательно определена.
3) в остальных случаях знакопеременна.

У Вас именно этот случай и есть. => Седловая точка, то есть имеется по меньшей мере одно отрицательное собственное число и одно положительное и соответствующие им направления, дающие как отрицательный, так и положительный прирост функции в достаточно малой окрестности стационарной точки.

Если случится вырожденная кв. форма, можно посмотреть вручную, Однако бывает полезно, если не вычислить собственные числа, то определить, одинаковы у них знаки или нет. Такую возможность и предоставляет признак Якоби. Если критерий скажет, что знаки разные, то форма опять знакопеременна => седловая точка. Если одинаковы, то это подскажет хотя бы в какую сторону копать. К примеру, если критерий сказал, что знаки собственных чисел (кроме отброшенного нуля разумеется) положительны, то в стационарной точке максимума уже точно быть не может, а вот минимум это или нет - надо смотреть вручную. При малых порядках собственные вектора для собственного значения 0 несложно отыскать - это хорошие кандидаты для направлений, куда сдвигаться, чтобы похоронить гипотезу минимума.