неравенство

[rightways]

$x,y,z-$ действительные числа и $xyz+2=x+y+z$.

Докажите неравенство

$a) x^2+y^2+z^2\ge 2$.

$ b) (x^2+1)(y^2+1)(z^2+1)\ge 4$

[arqady]

Неравенсво б) верно поскольку квадрат неотрицателен.

[Rak so dna]

rightways в сообщении #876537 писал(а):

$x,y,z-$ действительные числа и $xyz+2=x+y+z$.

Докажите неравенство

$a) x^2+y^2+z^2\ge 2$.

$ b) (x^2+1)(y^2+1)(z^2+1)\ge 4$

a)
$x^2+y^2+\frac{(x+y-2)^2}{(xy-1)^2}-2= \frac{\left(x^3y+xy^2-x^2+x-2xy\right)^2}{\left(x^2+y^2+1\right)(xy-1)^2}+ \frac{\left(y^3x+yx^2-y^2+y-2xy\right)^2}{\left(x^2+y^2+1\right)(xy-1)^2}+ \frac{(x-y)^2(xy-x-y+1)^2}{\left(x^2+y^2+1\right)(xy-1)^2}+ \frac{\left(x^2y^2-2xy+x+y-1\right)^2}{\left(x^2+y^2+1\right)(xy-1)^2}+ \frac{(xy-x-y+1)^2}{x^2+y^2+1}$

b)
$\left(x^2+1\right)\left(y^2+1\right)\left(\frac{(x+y-2)^2}{(xy-1)^2}+1\right)-4= \frac{\left(x^2y^2+x^2+y^2-2x-2y+1\right)^2}{(xy-1)^2}$

[arqady]

Вот еще одно интересное продолжение (xzlbq придумал):
Пусть $x+y+z+2=xyz$. Докажите, что

$$|x|+|y|+|z|\geq2$$

[fibonacci]

arqady в сообщении #878054 писал(а):

Вот еще одно интересное продолжение (xzlbq придумал):
Пусть $x+y+z+2=xyz$. Докажите, что

$$|x|+|y|+|z|\geq2$$

$x,y,z$ какие числа(real, positive, e.g)?

[arqady]

Действительные.