Функан.Уравнение.Обобщенные функции.

[Vanilin]

Решить в $D'$ уравнение: $xF=e^{|x|}$
Решил начать с простого
$xF=0$
$(xF.\varphi)=(F,x\varphi)=0$
Ну вроде бы понятно $(\delta(x),x\varphi)=0$ А как это показать?
Тогда исходное уравнение я наверное пойму как решать. Подскажите пожалуйста?

[Oleg Zubelevich]

наверное что-нибудь типа

$$\varphi\mapsto v.p.\int_\mathbb{R}\frac{e^{|x|}}{x}\varphi dx$$

[Vanilin]

Oleg Zubelevich в сообщении #876229 писал(а):

наверное что-нибудь типа

$$\varphi\mapsto v.p.\int_\mathbb{R}\frac{e^{|x|}}{x}\varphi dx$$

Это как то получилось из этого $\int xF \varphi dx= \int e^{|x|}\varphi dx$ ?

[sup]

Vanilin в сообщении #876196 писал(а):

Решил начать с простого
$xF=0$
$(xF.\varphi)=(F,x\varphi)=0$
Ну вроде бы понятно $(\delta(x),x\varphi)=0$ А как это показать?

Сначала стоит задаться вопросом: а что это такое $F \in D'$ ?
А это просто линейный функционал, который каждой $\varphi \in D$ ставит в соответствие некое число. Вот Вам и надо разобраться какое число сопоставляется этим элементам.
Вот Вы видели, что функциям вида $x\varphi (x)$ ставится в соответствие 0. Но это же не все функции из $D$. Как насчет всех остальных? Как устроены эти самые "все остальные"? Оказывается имеет место некое простое представление элементов из $D$. После чего легко выписывается общий вид всякого такого $F$. Тут то и выяснится, что это просто дельта-функция (с точностью до множителя).
Потом можно аналогично решать и задачу с $e^{|x|}$.

[Oleg Zubelevich]

а я думаю, что иногда надо просто рассуждать по мужицки $xF=e^{|x|}\Longrightarrow F=$e^{|x|}/x$. И потом уже подумать какой смысл имеет это выражение в терминах обобщенных функций.
ТС: не забудьте непрерывность функционала на $D$ проверить, и доказать единственность решения (ну и конечно проверить, что это действительно решение)

[ewert]

Vanilin в сообщении #876196 писал(а):

Ну вроде бы понятно $(\delta(x),x\varphi)=0$ А как это показать?

Представить произвольную пробную функцию как $\psi=\psi(0)\cdot\varphi_0+x\varphi$, где $\varphi_0$ -- некоторая фиксированная функция и $\varphi$ -- тоже пробная. Тогда

$$(F,\psi)=\psi(0)\cdot(F,\varphi_0)+(F,x\varphi).$$

[sup]

Oleg Zubelevich в сообщении #876348 писал(а):

а я думаю, что иногда надо просто рассуждать по мужицки

Не сочтите за лесть, но у Вас, я думаю, рассуждать по-мужицки запросто получится. А вот насчет ТС я не так уверен. Кроме того, мне кажется, что в данном случае формальный подход резко проясняет ситуацию. А то уравнение, разрешимость. А речь то идет об продолжении функционала, заданного на гиперподпространстве.

-- Вт июн 17, 2014 15:03:03 --

Как всегда в таких случаях, он дал себе зарок не прикасаться к спиртному, задача вполне успешно решается даже при полном отсутствии ТС

[ewert]

sup в сообщении #876353 писал(а):

А вот насчет ТС я не так уверен.

Ну так ТС же совершенно открытым текстом намекнул, что для него вопрос упирается именно в однородное уравнение.

[Padawan]

Oleg Zubelevich в сообщении #876229 писал(а):

наверное что-нибудь типа

$$\varphi\mapsto v.p.\int_\mathbb{R}\frac{e^{|x|}}{x}\varphi dx$$

и еще к этому $+C\delta$, где $C=\operatorname{const}$

[Oleg Zubelevich]

дык я не против, это всплыло бы на этапе

Oleg Zubelevich в сообщении #876348 писал(а):

доказать единственность решения

-- Вт июн 17, 2014 16:40:08 --

по-моему здесь удобней всего использовать теорему о множителях Лагранжа

[Vanilin]

Padawan в сообщении #876401 писал(а):

Oleg Zubelevich в сообщении #876229 писал(а):

наверное что-нибудь типа

$$\varphi\mapsto v.p.\int_\mathbb{R}\frac{e^{|x|}}{x}\varphi dx$$

и еще к этому $+C\delta$, где $C=\operatorname{const}$

Мне преподаватель тоже сказал, что возникает это слагаемое и потом обнуляется(да и в ответе без него). А откуда оно появилось?(

sup в сообщении #876347 писал(а):

Вот Вы видели, что функциям вида $x\varphi (x)$ ставится в соответствие 0. Но это же не все функции из $D$. Как насчет всех остальных? Как устроены эти самые "все остальные"? Оказывается имеет место некое простое представление элементов из $D$. После чего легко выписывается общий вид всякого такого $F$. Тут то и выяснится, что это просто дельта-функция (с точностью до множителя).
Потом можно аналогично решать и задачу с $e^{|x|}$

Вы имеете ввиду Имеется функционал $ F: \varphi \to (F,\varphi)$ со свойством $|(F,\varphi)|\leqslant Cp_{n,N}(\varphi)$
Ну вроде ясно $F:x\varphi \to (e^{|x|},\varphi)$ тогда $\varphi \to v.p.\frac{e^{|x|}}{x}$ Опять же возникает константа откуда-то и обнуляется?

[sup]

У Вас какая-то путаница. Вы же вроде собрались разобраться с уравнением $xF = 0$. А тут заговорили о $xF = e^{|x|}$.
Ну да ладно.
1. Вы же наверняка в курсе, как решают неоднородные уравнения. Общее решение - это сумма частного плюс общее решение однородного. Так что мимо уравнения $xF = 0$ Вам не проскочить.
2. Как искать частное решение? Да как угодно. Просто "угадаем".
Для начала, что такое $xF$ ? Это распределение, действующее по правилу $(xF,\varphi) = (F,x\varphi)$. Что значит $xF = e^{|x|}$ ? Это значит, что $(F,x\varphi) = \int e^{|x|}\varphi dx$.
Положим $\psi = x\varphi$. Для таких $\psi$ действие функционала $F$ определено (по формуле $(F,\psi) = \int e^{|x|}\varphi dx$). Отсюда вопросы. Что это за функции $\psi$? Как их можно охарактеризовать? Что это за множество $\Psi$ таких функций? Как оно соотносится с $D$?
Коль скоро Вы ответите на эти вопросы, следующий шаг такой. Про функционал $F$ мы знаем, что на $\Psi$ он определен по формуле $(F,\psi) = \int \frac {e^{|x|}\psi} {x} dx$. Продолжите его КАК-НИБУДЬ на все $D$. Вот и получится частное решение. Вот здесь надо чего-нибудь придумать. Благо уже и подходящая формула имеется (ну та, в смысле главного значения).
3. И вот снова однородное уравнение. Надо найти его общее решение. И опять-таки, искомый функционал уже задан на некотором линейном подпространстве $D$. Надо лишь сообразить, что способов продолжить его на все $D$ не так уж и много. Пост ewert Вам в помощь.
4. Единственность. Так она есть или её таки нет? Коль скоро у Вас будет общее решение, гадать не придется.

[Vanilin]

Спасибо sup за подробный ответ все стало ясно)
А все таки ответ получим $F=v.p \frac{e^{|x|}}{x}+C\delta$ (хотя в ответе учебника написано $F=v.p \frac{e^{|x|}}{x}$)

(Оффтоп)

Хотя наверняка я чего то не понял(