Объем тела

[Limit79]

Здравствуйте!

Есть такая задачка: найти объем тела, ограниченного поверхностями $z=5x$, $x^2+y^2=9$, $z=0$.

Объем этого тела будет:

$$V = \int\limits_{\frac{3\pi}{2}}^{\frac{5 \pi}{2}} d \varphi \int\limits_{0}^{3} r dr \int\limits_{0}^{5 r \cos(\varphi)} dz = ... = 90 $$

С другой же стороны, из геометрических соображений, объем данного тела - это четверть объема цилиндра радиуса $3$ и высотой $15$, и тут, в объеме будет фигурировать число $\pi$, но первым способом получилось число без $\pi$.

Подскажите, пожалуйста, в чем я не прав

[Otta]

В этом:

Limit79 в сообщении #876282 писал(а):

объем данного тела - это четверть объема цилиндра радиуса $3$ и высотой $15$,

[Limit79]

Otta
Спасибо. В цифрах может быть накосячил, но разве не четверть цилиндра?

Я уже и цилиндр сделал, и разрезал его, но не могу сообразить

Заданное тело -- эдакая долька, если взять такую же дольку, перевернуть в двух плоскостях, и положить ее на первую, то получится половина цилиндра же

[Otta]

Ну как она получится, у нее одна цилиндрическая грань будет лежать напротив другой. (А если внимательно поглядеть, они вообще не улягутся так, как Вы планируете.) А у половины цилиндра не так.

[Limit79]

Otta
Спасибо за помощь!

Сейчас, правда, уже не соображу, но днем попробую

[Yu_K]

Забавно - помню эту задачу - тоже был в свое время удивлен, что в ответе нет числа $\pi$.

[Yu_K]

На плоскости есть Гиппократовы (квадрируемые) луночки - по идее в пространстве должны быть "кубируемые луночки". Есть такие примеры?