Несобственный интеграл

[Limit79]

Здравствуйте!

Есть такая задачка: исследовать несобственный интеграл на сходимость:

$$\int\limits_{2}^{+\infty} \frac{dx}{x^{10} (x^2-x-2)}$$

Интеграл $\int\limits_{2}^{+\infty} \frac{dx}{x^{12}}$ сходится, тогда, по предельному признаку сравнения, исходный интеграл тоже сходится, но он расходится...

Подскажите, пожалуйста, где я ошибся

[Otta]

Решение такого сорта задач всегда следует начинать с поиска особых точек.

[Aritaborian]

Давайте посмотрим, чем подынтегральные функции отличаются в точке $x=2$...

(Otta)

Упс, опередили.

[Pphantom]

Подумайте, чему равно выражение под интегралом при $x=2$.

[Limit79]

Otta
Спасибо!
Особенность еще и при $x=2$, так как исходный интеграл расходится, то нужно оценить чем-то расходящимся снизу... я пробовал $\frac{1}{x^2-x-2}$, но эта функция дает только верхнюю оценку

[Otta]

Необязательно оценивать, есть и другие признаки. Более радикальные в Вашем случае.

[Ms-dos4]

Limit79
В окрестности $\[x = 2\]$ ваша функция эквивалентна $\[\frac{{{\mathop{\rm const}\nolimits} }}{{x - 2}}\]$. Вот и всё.

[Limit79]

Otta
Судя по посту Ms-dos4, это эквивалентность.

Ms-dos4
Можно ли это записать как

$$\lim\limits_{x \to 2+0} \frac{\frac{1}{x^{10} (x^2-x-2)}}{\frac{1}{x-2}} = 3072$$

, тогда из расходимости $\int\limits_{2}^{3}\frac{dx}{x-2}$ следует расходимость исходного интеграла?

[Otta]

Limit79. ну как Вы находите в себе силы после полного решения задавать вопросы. )) Давайте, я задам. Следует?

[ИСН]

Один студент © вот тоже так любил писать многоэтажные дроби, типа ${1\over2}\over{3\over4}$.
Потом он пошёл работать на стройку. Раз ему сказали принести доску. Он покрутился и увидел какую-то.
- Вот и хорошо! - подумал он и выдернул доску.
Громадные леса зашатались, сверху посыпались вёдра с краской и мужик, громко вспоминающий чью-то мать.

[Limit79]

Otta
Да, следует

Otta
Ms-dos4
Pphantom
Aritaborian
Спасибо за помощь, господа!

-- 15.06.2014, 01:53 --

ИСН
В данном случае важно показать, что предел отношения двух функций (а дробь написана для того, чтобы было понятно каких именно). Можно, конечно, написать $f(x):g(x)$, но это дело вкуса, имхо.

[arseniiv]

(Оффтоп)

$$\left.\frac{\frac{a/b}{c/d}\left/\frac\alpha\beta\right.}{\frac{e/f}{g/h}}\right/\frac{A/B}{C/D}.$$

[ИСН]

На Казанском вокзале просил милостыню слепой, который случайно за обедом выколол себе глаза вилкой.
Думаете, это невозможно?
Я видел людей, которые писали всего-то трёхэтажную дробь, тоже в полной уверенности, что перепутать невозможно. И следующим же шагом путались в ней, и падали носом в землю.

-- менее минуты назад --

Не расставляйте себе ловушек. Жизнь их и так расставляет quantum satis. Пишите хотя бы ${1/2}\over{3/4}$.

[Aritaborian]

Всего-то делов: следить за длиной черты. arseniiv вот даже привёл пример, где и за этим следить не нужно: все этажи чётко разграничены.

[ИСН]

Следил один такой, ога.

-- менее минуты назад --

arseniiv привёл хороший пример, да. Вот так и надо.