колебательная система.

[Oleg Zubelevich]

в качестве обобщенной координаты в этой задаче можно еще выбрать иксовую или игрековую координату точки. Оба способа плохие, но именно этим и поучительны.

[Munin]

Ms-dos4
А, ну точно! Он не элементарный, а спецфункция.

Ну, для школьника это тоже "самому решить нельзя" :-)

Хотя, результат теперь можно загнать в Wolfram Alpha, и посмотреть на график :-) Использовать функцию JacobiSN.

-- 14.06.2014 22:14:18 --

Например, вот $\operatorname{sn}(x,0{,}95)$

Отчётливо видно "залипание" маятника в крайних положениях (это не угол, а горизонтальная координата, но "залипание" видно по увеличившемуся периоду - гораздо больше $2\pi$).

[Oleg Zubelevich]

по-моему тут куда важнее явного интегрирования это нарисовать график потенциальной энергии а под ним фазовый портрет

[Munin]

Oleg Zubelevich
Лучше покажите, как ту же задачу решить, не подбирая обобщённые координаты вручную, а взяв декартовы, и наложив связь. Я бы сам попробовал, но перед вами не хочу - вы слишком придирчивый зритель.

-- 14.06.2014 22:20:06 --

Потенциальная энергия как раз слишком проста: это косинус и есть. А вот фазовый портрет Альфа умеет рисовать, щас.

-- 14.06.2014 22:32:43 --



Здесь по горизонтали - обобщённая координата, а по вертикали - обобщённый импульс. В некотором упрощённом смысле, можно считать, что по вертикали - "скорость движения по обобщённной координате".

Полезно самому разобраться, какие типы траекторий нарисованы.

[Oleg Zubelevich]

$m\ddot x=R_x,\quad m\ddot y=mg+R_y,\quad F(x,y)=x^2+y^2-l^2=0$

$R_x,R_y$ -- компоненты реакции связи (натяжения нити); $F=0$ -- уравнение связи

Реакция связи направлена вдоль нити :

$$R_x=\lambda\frac{\partial F}{\partial x},\quad R_y=\lambda\frac{\partial F}{\partial y}$$

(градиент $F$ перпендикулярен конфигурационному многообразию $\{F=0\}$ это и означает, что связь идеальна.) $\lambda$ -- множитель Лагранжа.

Подставляя эти формулы в уравнения движения, получаем уравнения Лагранжа первого рода:

$$m\ddot x=2\lambda x,\quad m\ddot y=mg+2\lambda y \qquad (*)$$

Что бы эта система стала замкнутой надо выразить $\lambda$ как функцию положения и скорости точки. Продифференцируем дважды ураавнение связи по времени:

$$\dot x^2+\dot y^2+x\ddot x+y\ddot y=0$$

и подставим в это уравнения $\ddot x,\ddot y$, выраженные из (*), находим

$$\lambda =-\frac{m}{2l^2}\Big(gy+\dot x^2+\dot y^2\Big)$$

Уравнения (*) имеют интеграл энергии $H=\frac{m}{2}(\dot x^2+\dot y^2)-mgy$ и еще в фазовом пространстве имеется инвариантная поверхность $\{F=0\}$. (UPD)

[Munin]

Если мы подставим $\lambda$ в $(*),$ то всё равно будем иметь два дифура для двух переменных. А цель, я так понимаю, от одной избавиться?

[Oleg Zubelevich]

Munin в сообщении #875484 писал(а):

Если мы подставим $\lambda$ в $(*),$ то всё равно будем иметь два дифура для двух переменных

да, но у них в фазовом пространстве есть инвариантная поверхность $\{F=0\}$ и на нее надо сужать систему.

[Ms-dos4]

Интересно так же сравнить колебания с линеаризованной моделью.

Для нелинейных колебания имеем (см. выше) $\[\varphi = 2\arcsin [\sin \frac{{{\varphi _{\max }}}}{2} \cdot {\mathop{\rm sn}\nolimits} (\omega t,{\sin ^2}\frac{{{\varphi _{\max }}}}{2})]\]$.
Линеаризованное решение $\[\varphi = {\varphi _{\max }}\sin \omega t\]$
Для простоты $\[\omega = 1\]$
Синим цветом - нелинейные
1)$\[{\varphi _{\max }} = \frac{\pi }{{36}}\]$ (5 градусов)

2)$\[{\varphi _{\max }} = \frac{\pi }{6}\]$ (30 градусов)

3)$\[{\varphi _{\max }} = \frac{{2\pi }}{3}\]$ (120 градусов)

[Munin]

Да, это лучше, чем я нарисовал...

-- 15.06.2014 00:06:15 --

Oleg Zubelevich в сообщении #875486 писал(а):

и на нее надо сужать систему.

Щас попробую.

$$(*)\qquad\Longrightarrow\qquad l^2\ddot{x}=-(gy+\dot{x}^2+\dot{y}^2)x,\quad l^2(\ddot{y}-g)=-(gy+\dot{x}^2+\dot{y}^2)y$$

$$\Longrightarrow\qquad l^2\ddot{x}=-gxy-\dot{x}^2x-\dot{y}^2x,\quad l^2(\ddot{y}-g)=-gy^2-\dot{x}^2y-\dot{y}^2y$$

$$\dot{F}=2\dot{x}x+2\dot{y}y=0$$

$$\Longrightarrow\qquad l^2\ddot{x}=-gxy-\dot{x}^2x-\dfrac{\dot{x}^2x^3}{y^2},\quad l^2(\ddot{y}-g)=-gy^2-\dfrac{\dot{y}^2y^3}{x^2}-\dot{y}^2y$$

$$\Longrightarrow\qquad l^2\ddot{x}=-gx\sqrt{l^2-x^2}-\dfrac{\dot{x}^2xl^2}{l^2-x^2},\quad l^2(\ddot{y}-g)=-gy^2-\dfrac{\dot{y}^2yl^2}{l^2-y^2}$$

Мда, получается, но в итоге приятного мало...

[Oleg Zubelevich]

сужать естественней так $x=l\cos\psi,\quad y=l\sin\psi$ ну и на выходе мы ,конечно, получаем... уравнение Лагранжа
на самом деле это всетаки не совсем бессмысленные формулы: силу натяжения нити мы выразили, это тоже бывает полезно

[Munin]

Oleg Zubelevich в сообщении #875509 писал(а):

сужать естественней так

Да, но это опять "угадайка". А если у человека догадывательная железа в мозгу не развита?

Oleg Zubelevich в сообщении #875509 писал(а):

на самом деле это всетаки не совсем бессмысленные формулы

А я и не имел этого в виду. Всё это одно и то же уравнение, "вид сбоку". Вот только в том виде, как у меня получилось, оно выглядит как-то ещё более неудоборешаемо... если подстановку не угадать.

[Oleg Zubelevich]

Munin в сообщении #875511 писал(а):

Да, но это опять "угадайка". А если у человека догадывательная железа в мозгу не развита?

выбор адекватных переменных это творчество, общих методов нет

[Munin]

Ну, в принципе, как неудобные, но пригодные, могут использоваться и часть исходных координат, к чему мы и пришли (можно использовать только $x$ или только $y$). Это я поясняю для нашего читателя fronnya, интересно, читает ли он ещё.

[fronnya]

Munin в сообщении #875603 писал(а):

Ну, в принципе, как неудобные, но пригодные, могут использоваться и часть исходных координат, к чему мы и пришли (можно использовать только $x$ или только $y$). Это я поясняю для нашего читателя fronnya, интересно, читает ли он ещё.

труднее, чем с обобщенными координатами.. я пока не очень свободно обращаюсь с математикой.

[fronnya]

пока что только началось централизованное тестирование,сдаю потиху (сегодня русский сдавал) в пятницу математика, в следующий вторник- физика, дай бог пройти на физический факультет.. а после ЦТ начну заниматься конкретно с аналитической геометрии. Я о чем это..