Komal A611

[Navid]

Пусть $n$ целое положительное число. Определите наименьшее возможное значение $ | P(1)| ^2+ | P(2)|^2+....+| P(n+3)|^2 $ по всем сложном унитарных многочленов $ P(x) $ степени $n$.

[mihiv]

Полином степени $n$ однозначно определяется своими значениями при $n+1$ значениях аргумента. обозначим $P(i)=y_i$, тогда

$$P(x)=\sum \limits ^{n+1}_{i=1}y_i\dfrac {p_i(x)}{p_i(i)}$$

(полином Лагранжа), где $p_i(x)=\prod \limits ^{n+1}_{j=1,j\ne i}(x-j)$. Коэффициент при $x^n$ в $P(x)$ равен 1, отсюда:

$$\sum \limits ^{n+1}_{i=1}\dfrac {y_i}{p_i(i)}=1\qquad (1)$$

Кроме того:

$$y_{n+2}=\sum \limits _{i=1}^{n+1}y_i\dfrac {p_i(n+2)}{p_i(i)}\qquad (2), y_{n+3}=\sum \limits ^{n+1}_{i=1}y_i\dfrac {p_i(n+3)}{p_i(i)}\qquad (3)$$

Таким образом нужно найти минимальное значение функции $F(y_1,\cdots ,y_{n+3})=\sum \limits ^{n+3}_{i=1}y_i^2$, при дополнительных условиях (1),(2),(3).
Получим систему уравнений Лагранжа:

$$2y_i+\lambda _1\dfrac 1{p_i(i)}-\lambda _2-\lambda _3\dfrac {p_i(n+3)}{p_i(i)}=0, \qquad 1\leqslant i\leqslant n+1\qquad (4)$$ $$2y_{n+2}+\lambda _2=0, 2y_{n+3}+\lambda _3=0\qquad (5)$$

Используя уравнения (1)-(5) можно найти минимальное значение $m$ функции $F$, для этого не нужно даже знать сам полином $P(x)$, в частности оказывается, что $2m=-\lambda _1$. Явное выражение для $m$ довольно громоздкое.