пропаганда лженауки ЗУ

[Oleg Zubelevich]

У меня такая просьба к группе ЗУ, разъясните как-нибудь члену вашего клуба некоторые вопросы дифференциальной геометрии:

ewert в сообщении #875060 писал(а):

Oleg Zubelevich в сообщении #875026
писал(а):
$\frac{\partial^2 f}{\partial x^i\partial x^j}$ -- не тензор
Любая производная есть тензор, и вторая -- не исключение.

заявления данного участника о том, что $\frac{\partial^2 f}{\partial x^i\partial x^j}$ является тензором -- это пропаганда лженауки, что в двойне вредно, поскольку лайблу "ЗУ" на этом форуме доверяют студенты.

-- Пт июн 13, 2014 20:46:24 --

Ну и вот это тоже

ewert в сообщении #875060 писал(а):

Билинейная форма -- не есть тензор, она есть форма.

ему как-то надо объяснить.

[ewert]

Oleg Zubelevich в сообщении #875070 писал(а):

ему как-то надо объяснить.

Объясняю: тензор -- не форма, килограмм -- не метр, курица -- не птица, и вообще следует выбирать выражения, когда пытаешься что-то сказать.

[Munin]

Билинейная форма есть тензор ранга $(0,2).$ Просто по определению тензора ранга $(m,n).$

$\frac{\partial^2 f}{\partial x^i\partial x^j}$ является "простой", а не ковариантной производной, и поэтому не тензор. Если я правильно помню, тензором будет $\frac{\partial^2 f}{\partial x^i\partial x^j}-\Gamma^k_{ij}\frac{\partial f}{\partial x^k}.$ В то же время, $\frac{\partial^2 f}{\partial x^i\partial x^j}$ будет тензором в линейных системах координат $\Gamma^k_{ij}=0.$

Кажется, так.

-- 13.06.2014 22:55:06 --

P. S. Курица - птица. Человек - обезьяна. И курица, и человек - рыбы.

[Xaositect]

Munin в сообщении #875116 писал(а):

Билинейная форма есть тензор ранга $(0,2).$ Просто по определению тензора ранга $(m,n).$

Иногда билинейными формами называют и билинейные формы с аргументами из разных пространств.

[Oleg Zubelevich]

Xaositect в сообщении #875125 писал(а):

Иногда билинейными формами называют и билинейные формы с аргументами из разных пространств.

иногда -- да, но только не в том контексте, из которого взяты ссылки.
Кстати, а почему бы Вам не прокомментировать вопрос про тензорность набора вторых производных функции?

[Munin]

Xaositect в сообщении #875125 писал(а):

Иногда билинейными формами называют и билинейные формы с аргументами из разных пространств.

А, ну в такем разе не тензор. Но обсуждались в том топике вторые производные, так что к тому частному случаю эта отмазка не катит.

[Xaositect]

Oleg Zubelevich в сообщении #875136 писал(а):

Кстати, а почему бы Вам не прокомментировать вопрос про тензорность набора вторых производных функции?

Вторые производные не преобразуются как тензор.

[Toucan]

Тема перемещена из форума «Работа форума» в форум «Дискуссионные темы (М)»

[iifat]

Munin в сообщении #875116 писал(а):

Билинейная форма есть тензор ранга $(0,2)$

В ваши высоты пока не полезу, почему бы не начать с линейных форм? Линейная форма — функция, отображающая линейное пространство в множество действительных чисел, обладающая некими свойствами; тензор — набор компонент, изменяющихся по некоторым законам. Между ними можно установить взаимно-однозначное отношение, но это не делает их одним и тем же: я могу задавать отображение ковектором, а могу контравектором (конртравектор коэффициентов либо ковектор скалярного произведения, хотя эти ко- и контра я могу и перепутать).

[Munin]

iifat
Дело в том, что вот эта фраза:

iifat в сообщении #875242 писал(а):

тензор — набор компонент, изменяющихся по некоторым законам

- не определение. Это свойство. Даже если указать закон изменения.

Я сам думал, что это определение, но ошибался, и меня в этом разубедили, причём кажется, при участии Oleg Zubelevich, за что ему спасибо.

Это "определение" фигурирует в некоторых учебниках физики. В учебниках математики тензор вводится иначе. Как элемент тензорного произведения некоторого количества копий линейного пространства, и пространств линейных форм над этим линейным пространством. Так что в частности, и ровно одно пространство линейных форм - это тоже пространство тензоров, ранга $(0,1).$

iifat в сообщении #875242 писал(а):

Между ними можно установить взаимно-однозначное отношение, но это не делает их одним и тем же

Если между чем-то можно установить взаимно-однозначное отношение, это делает их одним и тем же. Одним и тем же "абстрактным объектом", который можно рассматривать, возможно, с разных точек зрения, и выписывать различными способами. Так принято в математике.

Допустим, вы имеете нечто $a$ и $b,$ причём установили между ними изоморфизм $a\mathrel{\lefteqn{\leftarrow}\xrightarrow{\varphi}}b,$ который позволяет назвать их неким $A,\quad A\xrightarrow{\alpha}a,\quad A\xrightarrow{\beta}b.$ Дальше математика не стоит на месте: приходят новые математики, и доказывают теорему об $A.$ Можно считать её одной теоремой $T(A),$ а можно - двумя разными теоремами $T_a(a),T_b(b).$ При этом одна из них будет элементарным следствием второй, $T_b(b)=T_a(\varphi(b)).$ Дальше, новые математики вводят новые объекты, определения которых основаны на $A.$ Опять получается раздвоение: либо мы имеем один объект $c(A),$ либо две версии объекта $c_a(a),c_b(b).$ Для новых объектов доказываются новые теоремы, и так далее - и всё это либо в одной, либо в раздвоенной версии. Что удобнее?

Ситуация ещё хуже. Пусть в одной области математики мы имеем два изоморфных $a$ и $b,$ а в другой области - два изоморфных $f$ и $g,$ а в третьей - два изоморфных $k$ и $l,$ и так далее. Тогда результат, касающийся всех этих объектов, получается, должен существовать в $2^n$ версиях: $T_{afk}(a,f,k),T_{afl}(a,f,l),\ldots\mathrm{etc}.$ И хорошо, если основание двойка, а часто бывает по три и больше изоморфных представления одного и того же объекта. То же самое, если в результат входит один и тот же объект, но два раза (скажем, обсуждается отображение объекта на объект).

-- 14.06.2014 11:57:38 --

И наконец, не последнее по значению: когда вы знакомитесь с чем-то $A$ в версиях $a$ и $b,$ вам может быть удобно думать о них как о разных $a$ и $b.$ Но по мере того, как вы с ними постоянно работаете и используете, вам настолько часто приходится "переключаться" с точки зрения $a$ на $b$ и обратно, что вам становится удобнее думать о них всё-таки как об одном нечто $A.$ "Два нечто" - точка зрения новичка, "одно нечто" - точка зрения человека с опытом, профессионала.

(И разумеется, я не говорю о случае, когда между $a$ и $b$ есть какие-то тонкие различия, например, изоморфизм бывает, но не всегда. В этом случае, конечно, два понятия остаются, и профессионал их не смешивает.)

[Oleg Zubelevich]

Эквивалентных определений можно устроить много.

Пусть $a_{ij}^k$ -- тензор в линейном пространстве $L$. Это

1) набор, чисел который преобразуется при заменах координат в $L$ известным образом

2) это полилинейная форма $L\times L\times L^*\to\mathbb{R},\quad (u^ie_i,v^je_j, h_ke^k)\mapsto a_{ij}^ku^iv^jh_k$

3) это элемент пространства $L\otimes L^*\otimes L^*\ni a_{ij}^k e_k\otimes e^i\otimes e^j$

4) это линейный оператор $L\to L\otimes L^*,\quad u^ie_i \mapsto u^ia_{ij}^k e_k\otimes e^j$

5) это линейный оператор $L^*\to L^*\otimes L^*,\quad u_ke^k \mapsto u_ka_{ij}^k e^i\otimes e^j$
и т.д.

[Munin]

Понятие "набора чисел, который преобразуется известным образом" ведёт в сторону понятия представлений групп. Это вещь интересная, особенно для современной физики, и к тензорам не сводящаяся, хотя тензоры - первейшие и наиболее яркие представления, с которыми знакомятся физики. Второй важный пример - спиноры.

[Oleg Zubelevich]

тут, по-видимому, всетаки еще надо оговаривать что замены координат делаются в пространстве $L$, а в $L^*$ и в тензорных произведениях они индуцируются.

[Red_Herring]

Munin в сообщении #875284 писал(а):

Понятие "набора чисел, который преобразуется известным образом" ведёт в сторону понятия представлений групп. Это вещь интересная, особенно для современной физики, и к тензорам не сводящаяся, хотя тензоры - первейшие и наиболее яркие представления, с которыми знакомятся физики. Второй важный пример - спиноры.

Т.е. наводя внешнюю строгость: в данном контексте это отображение из множества (линейных) систем координат в множество наборов чисел, при этом правила преобразования должны выполняться.

Тут еще можно ввести плотности разных порядков (т.е. по сравнению с правилом перехода для обычных тензоров появляется фактор "абсолютная величина Якобиана перехода в соответствующей степени") и/или псевдотензоры (фактор $-1$ если ориентация системы меняется). Все это вполне содержательно.

[Oleg Zubelevich]

(Оффтоп)

и эти люди меня называют занудой post682458.html#p682458