измеримые функции

[loshka]

Здравствуйте, перерешиваю задания,которые не правильно решил в течение семестра, вот с этими тремя есть довольно сильные проблемы, прошу помощи.
1)доказать на основе определения измеримость функции $f(x)=(x-4)(x^2-16)$
2) Интегрируема ли функция $f$ на множестве $(0;1]$
$f(x)=(-1)^n(n^2+n)/(2^{n/2})$ если $x$ принадлежит $(1/n;1/(n+1)]$
3)Пусть множество $A$ измеримо подмножество $R$. Доказать, что функция $f(x)=\mu(A\cap [0;x])$ непрерывно на $[0;1]$

1)Тут все совсем плохо, не могу понять различия измеримой функции от ограниченной, вижу в определение измеримости какую-то ерунду в виде поточечной ограниченности
Моя идея решения заключается в следующем найти локальные экстремумы, разбить область определения на отрезочки с концами в локальных экстремумов найти в них значения, взять прообразы, а дальше не знаю...
2) тут вроде бы просто по формуле, найдем длину отрезочка $1/n-1/(n+1)=1/n(n+1)$
Потом составляю ряд $\sum\limits_{I=1}^n (-1)^n/2^{n/2}$ Сократилось $(n+1)n$
Ряд сходится, функция интегрируема, но за это задание 0 баллов, почему не понятно
3)тут вообще нет идей, пробовал использовать определения меры Лебега, связать с определением непрерывной функции, но ничиго не получилось

Помогите пожалуйста

[loshka]

не знаю, как оформлять, когда полуинтервал задан, он начинает ругаться, что несоответствие скобок

[Lia]

Пусть себе ругается.

[мат-ламер]

3) По-видимому функция удовлетворяет условию Липшица.

[loshka]

Спасибо большое,что-то я совсем прозевал этот момент

Подскажите пожалуйста с первыми двумя

[SpBTimes]

Так а 1) , если по-определению, то посмотрите множества Лебега.
2) Ну либо используйте ограниченность, либо то, что это простая функция.

[Henrylee]

1. Смотря как определялась измеримость. Например, берем множество
$\{x\,:\,f(x)\leqslant y\}$ и доказываем, что оно борелевское для все $y$.
2. Слов ''ряд сходится абсолютно'' должно быть вполне достаточно. И ряд по $n=1$ до $\infty$. А у Вас в пределах посмотрите что. И вообще не ряд.

[VladimirKr]

Цитата:

3)тут вообще нет идей, пробовал использовать определения меры Лебега, связать с определением непрерывной функции, но ничиго не получилось

Странно, ведь именно из определения меры Лебега и просто определения меры очевидно, что $\forall\epsilon>0$ выполняется $0\leq f(x+\epsilon)-f(x)\leq\epsilon$ , далее по определению непрерывности...

(Оффтоп)

хорошо определена эта $f(x) $ . С помощью этой функции легко доказать, что всякое множество ненулевой меры Лебега имеет мощность континуума

[Henrylee]

VladimirKr в сообщении #877449 писал(а):

Цитата:

(Оффтоп)

хорошо определена эта $f(x) $ . С помощью этой функции легко доказать, что всякое множество ненулевой меры Лебега имеет мощность континуума

(Оффтоп)

А от противного не проще?

[VladimirKr]

Henrylee в сообщении #878901 писал(а):

VladimirKr в сообщении #877449 писал(а):

Цитата:

(Оффтоп)

хорошо определена эта $f(x) $ . С помощью этой функции легко доказать, что всякое множество ненулевой меры Лебега имеет мощность континуума

(Оффтоп)

А от противного не проще?

(Оффтоп)

Не очевидно мне что-то... По модулю континуум-гипотезы легко, а без этой гипотезы как?