Неопределенный интеграл

[MestnyBomzh]

При решении интеграла $\int \cos( \ln x) dx$ вольфрам использует некую формулу: $\int e^{ax}\cos(bx)dx=\frac{e^{ax}(a \cos(bx)+b \sin(bx))}{a^2+b^2}$.
ПОдскажите, как вывести эту формулу?

[Ms-dos4]

Интегрируем по частям два интеграла
$\[\int {{e^{\alpha x}}\sin (\beta x)dx} = \frac{1}{\alpha }{e^{\alpha x}}\sin (\beta x) - \frac{\beta }{\alpha }\int {{e^{\alpha x}}\cos (\beta x)dx} \]$
$ \[\int {{e^{\alpha x}}\cos (\beta x)dx} = \frac{1}{\alpha }{e^{\alpha x}}\cos (\beta x) + \frac{\beta }{\alpha }\int {{e^{\alpha x}}\sin (\beta x)dx} \]$

Получаем СЛАУ на $\[{I_1} = \int {{e^{\alpha x}}\sin (\beta x)dx} \]$ и $\[{I_2} = \int {{e^{\alpha x}}\cos (\beta x)dx} \]$

[ewert]

Стандартно -- интегрируем по частям два раза. В правой части получается тот же интеграл, что и в левой, но с другим коэффициентом; ну так и переносим его в левую часть.

[ИСН]

Знать, что ответ "где-то там", вывести методом неопределённых коэффициентов.

[MestnyBomzh]

Что я не так делаю:
$\[\int {{e^{\alpha x}}\cos (\beta x)dx} = \frac{1}{\alpha }{e^{\alpha x}}\cos (\beta x) + \frac{\beta }{\alpha } (\frac{1}{\alpha }{e^{\alpha x}}\sin (\beta x) - \frac{\beta }{\alpha }\int {{e^{\alpha x}}\cos (\beta x)dx} \])$
Отсюда $I = \frac{1}{\alpha }{e^{\alpha x}}\cos (\beta x) + \frac{\beta}{\alpha^2 }{e^{\alpha x}}\sin (\beta x) - \frac{\beta^2 }{\alpha^2 } I$
$I(1+\frac{\beta^2}{\alpha^2 }) = \frac{1}{\alpha }{e^{\alpha x}}\cos (\beta x) + \frac{\beta}{\alpha^2 }{e^{\alpha x}}\sin (\beta x)$
$I(\frac{a^2}{a^2}+\frac{\beta^2}{\alpha^2 }) = \frac{1}{\alpha }{e^{\alpha x}}\cos (\beta x) + \frac{\beta}{\alpha^2 }{e^{\alpha x}}\sin (\beta x)$
$I = \frac{\alpha}{\beta^2 }{e^{\alpha x}}\cos (\beta x) + \frac{1}{\beta }{e^{\alpha x}}\sin (\beta x)$
$I = \frac{e^{ax}(a \cos(\beta x)+\beta \sin(\beta x))}{\beta^2 }$

[Someone]

MestnyBomzh в сообщении #875083 писал(а):

Что я не так делаю:

Дроби "не так" складываете: $1+\frac{\beta^2}{\alpha^2}=?$

[MestnyBomzh]

Дада, точно, спасибо