Как давать школьникам комплексные числа

[Ferma]

Oleg Zubelevich
В том то и дело, что основным потребителем комплексных чисел должна быть алгебра. Но для этого надо решить задачу чисел Ферма.

[V_I_Sushkov]

Я из того поколения школьников, которому преподавали комплексные числа в алгебре.
Если память не изменяет - в шестом классе (или седьмом?), в начале 1960-х.
Давали одновременно с изучением квадратного уравнения и формулы для его решения.
Давали в рамках исторического подхода - как гипотезу о возможности извлечь корень из $(-1) $.
Методика преподавания отработана десятилетиями и не требует повторного ее изобретения.
Скажу, что я тогда приобрел как школьник: умение отыскивать комплексные корни квадратных трехчленов с вещественными коэффициентами, умение проводить простейшие вычисления с к.ч. в алг. форме и жажду узнать, где же все-таки лежат комплексные корни на чертеже, если на параболе их нет.
Ну плюс еще ощущение некоего волшебства, которое может стать вполне понятным при дальнейшем
изучении математики.
Оправданием комплексных чисел в глазах школьников 7 класса в принципе могла бы быть задача об отыскании корней полинома третьей степени с вещественными коэффициентами.
Т.е. именно та задача, которая и привела к их открытию.
Но школьникам неведомы прикладные задачи, требующие отыскания корней полиномов высших степеней. Не будет у них интереса.
Поэтому в неполной средней школе можно удовлетвориться именно тем результатом, который получило моё поколение: удивление, некий практический навык и желание разобраться в этом чуде в будущем.
В старших классах в принципе можно было бы использовать тригонометрическую форму, вращающиеся диаграммы из электротехники синусоидальных токов и закон Ома оттуда же, ну и аккуратное описание комплексных чисел как упорядоченных пар вещественных, - это уже само собой.

В заключение сообщу: одна из моих старших коллег (кажется, то была доц. И.В. Мухина, её ныне нет в живых) на кафедре в.м. ЛПИ в моём присутствии рассказывала о выступлении акад. Колмогорова по его реформе школьной математики.
По её словам акад. Л.С. Понтрягин спросил Колмогорова: куда он дел комплексные числа?
На что тот якобы растерянно ответил: "Забыл про них!"

[Sicker]

по моему, комплексные числа лучше давать как векторы, с особой (и довольно естественной) операцией умножения(+ориентация и тд)
ну и показать все их свойства

-- 13.06.2014, 14:58 --

алгебраические штуки они не поймут, тк необходимо еще и доказать существование этого корня

[V_I_Sushkov]

Sicker в сообщении #874909 писал(а):

по моему, комплексные числа лучше давать как векторы, с особой (и довольно естественной) операцией умножения(+ориентация и тд)
ну и показать все их свойства

-- 13.06.2014, 14:58 --

алгебраические штуки они не поймут, тк необходимо еще и доказать существование этого корня

1) Вы отстаиваете режим максимальной аккуратности изложения, который привел Францию к краху преподавания математики, к чрезмерной формализации математики.
2) То, что Вы предлагаете взять за основу, школьникам и будет казаться "алгебраическими штуками", точнее, абстракциями, не имеющими никаких связей с реальностью.
3) Я просто изложил пережитое мной, опыт преподавания наших предков. Кстати, весьма успешный опыт судя по развитию инженерного дела и науки в СССР. Уверен, что этот опыт надо возрождать. Сообщаю это как свидетель.

[Sicker]

V_I_Sushkov в сообщении #874918 писал(а):

1) Вы отстаиваете режим максимальной аккуратности изложения, который привел Францию к краху преподавания математики, к чрезмерной формализации математики.

как раз наоборот

V_I_Sushkov в сообщении #874918 писал(а):

2) То, что Вы предлагаете взять за основу, школьникам и будет казаться "алгебраическими штуками", точнее, абстракциями, не имеющими никаких связей с реальностью.

как раз наоборот

V_I_Sushkov в сообщении #874918 писал(а):

3) Я просто изложил пережитое мной, опыт преподавания наших предков. Кстати, весьма успешный опыт судя по развитию инженерного дела и науки в СССР. Уверен, что этот опыт надо возрождать. Сообщаю это как свидетель.

ну да, ну да

[V_I_Sushkov]

Sicker в сообщении #874943 писал(а):

V_I_Sushkov в сообщении #874918 писал(а):

1) Вы отстаиваете режим максимальной аккуратности изложения, который привел Францию к краху преподавания математики, к чрезмерной формализации математики.

как раз наоборот

Обоснуйте, пожалуйста.
Но не на примере малого мехмата, а на примере шестого - седьмого классов обычной школы.

Sicker в сообщении #874943 писал(а):

V_I_Sushkov в сообщении #874918 писал(а):

2) То, что Вы предлагаете взять за основу, школьникам и будет казаться "алгебраическими штуками", точнее, абстракциями, не имеющими никаких связей с реальностью.

как раз наоборот

Та же просьба повторно.

Sicker в сообщении #874943 писал(а):

V_I_Sushkov в сообщении #874918 писал(а):

3) Я просто изложил пережитое мной, опыт преподавания наших предков. Кстати, весьма успешный опыт судя по развитию инженерного дела и науки в СССР. Уверен, что этот опыт надо возрождать. Сообщаю это как свидетель.

ну да, ну да

Вы не поняли?
Повторяю: до реформы имени Колмогорова начала теории комплексных чисел преподавали в каждой школе СССР в шестом или седьмом классе (точнее сейчас не помню).
После Колмогорова их не стало в школах.
Они остались только для избранных детей (самых старших классов) типа малого мехмата в Москве.
От преподавания комплексных чисел сотням тысяч оставили преподавание единицам из 9 - 10 классов (или 10 - 11 в зависимости от года).

[Munin]

(Оффтоп)

Sicker
Вам что, делать нечего?

Задачу с уравнением Шрёдингера уже решили?

[robot80]

Oleg Zubelevich, поясните пожалуйста Ваш коментарий про

Цитата:

Поэтому векторы и комплексные числа - всё-таки разные вещи. Иначе говоря, комплексное число - это вообще не геометрический объект

.
-------------------------------------------------
Насколько я знаю, полной эквивалентности между комплексными числами и векторами нет.
То есть, например: сумма (разность) комплексных чисел эквивалентна сумме (разности) векторов, НО
произведение (деление) комплексных чисел не эквивалентно умножению (делению) векторов (как искать частное от двух векторов?).

[Munin]

Эквивалентности нет. Есть принадлежность. $\text{комплексные числа}\subset\text{векторы}.$

Векторы - это (def) предметы, которые можно складывать между собой, и умножать на число (элемент поля).
Комплексные числа - это предметы, которые можно складывать между собой, и умножать на число (действительное, это поле). Таким образом, определению векторов они удовлетворяют, и потому являются векторами.
Кроме того, комплексные числа можно умножать между собой. Это дополнительное свойство, и оно не делает комплексные числа не-векторами. Точно так же, как прицеп не делает автомобиль не-автомобилем.

В школе рассказывают, что векторы можно ещё скалярно между собой умножать. Комплексные числа нельзя. Но это не общее свойство векторов. В математике есть два разных понятия:
- векторы (вообще);
- векторы со скалярным произведением.
Второе понятие - тоже соотносится с первым, как "добавление прицепа". В школе рассказывают про евклидовы векторы, как первый и наиболее наглядный пример векторов, но полно и других векторных пространств, скалярным произведением не обладающих.

Кстати, действительные числа - векторы. И рациональные числа - векторы. Кстати, с действительными числами вообще есть песни с плясками: действительные числа можно рассматривать как векторы над полем рациональных чисел, и в таком случае иррациональные числа линейно независимы от рациональных. Их приходится добавлять в базис, и базис в итоге получается бесконечномерный.

[Sender]

Насколько я помню, нам комплексные числа вводили как упорядоченные пары действительных чисел $(a,b)$ с заданными операциями на их множестве:
1. Сложение: $(a_1,b_1)+(a_2,b_2)=(a_1+a_2,b_1+b_2)$.
2. Умножение: $(a_1,b_1)\cdot(a_2,b_2)=(a_1a_2-b_1b_2,a_1b_2+b_1a_2)$.
Далее пара вида $(a,0)$ отождествлялась с действительным числом $a$.
Пара $(0,1)$ называлась мнимой единицей $i$, откуда следовал плавный переход к алгебраической форме записи, которая преимущественно и применялась в дальнейшем.

[robot80]

Munin, боюсь у школьников от всего этого будет большая каша в голове. Тем более, что в школе (8 класс, когда векторы появляются) вектор - это направленный отрезок, а не предмет, который можно складывать и умножать на число. То есть изобразительный образ первичен, а свойства вторичны.
--------------
1. Эдак много что можно считать векторами: матрицы, например: тоже можно складывать и умножать на число. Но что это даст (дополнительное именование)? Только путаницу, мне кажется.
2. Точка в евклидовом пространстве является конечной точкой радиус-вектора, и поэтому с координатной точки зрения точка не отличима от вектора.
3.

Цитата:

рациональные числа - векторы.

. Хм, ну тогда придется определить, что такое просто-число, чтобы на него умножить вектор-число. Нельзя же умножать два вектор-числа .

[nnosipov]

Munin в сообщении #876009 писал(а):

Кстати, действительные числа - векторы. И рациональные числа - векторы. Кстати, с действительными числами вообще есть песни с плясками: действительные числа можно рассматривать как векторы над полем рациональных чисел, и в таком случае иррациональные числа линейно независимы от рациональных. Их приходится добавлять в базис, и базис в итоге получается бесконечномерный.

Комплексные числа в этом отношении ровно такие же векторы, как и действительные.

[robot80]

Могу рассказать про свой опыт изложения темы "комплексные числа" студентам-нематиматикам (в предположении, что по уровню восприятия математики - это школьники).
1) показываю простейшие квадратное уравнение $x^2 +1 = 0$. Говорю, что будем обозначать $\sqrt{-1}$ буквой i и называть мнимой единицей. Далее привожу пример более сложного квадратного уравнения с ненулевой действительной частью, таким образом появляется действительная часть числа и мнимая.
2) Далее излагаю правила выполнения арифметических действий над комплексными числами, по аналогии с многочленами (по сути, компл. число и есть многочлен).
3) Далее перехожу к геометрической интерпретации комплексного числа (вот тут появляются векторы и точки на числовой оси и числовой плоскости). Определяю модуль и аргумент. Далее, через ряды получаю формулу Эйлера (в школе придётся ее дать просто по определению, да и то в 11 классе).
4) Дальше идет возведение чисел в натуральную и рациональную степень.

Все это, конечно, не строго. Но ведь и школьники - ещё не полноценные математики.

Sender, подход к изложению через пары чисел действительно есть, но он какой-то вымороченный: абсолютно не ясно, откуда эти пары взялись, почему именно пары, а не тройки. В общем, автор этого подхода просто решил выпендриться и сделать всё по-своему.

[Munin]

robot80 в сообщении #876038 писал(а):

Эдак много что можно считать векторами: матрицы, например: тоже можно складывать и умножать на число.

Разумеется, матрицы являются векторами. И "много что" ещё.

Простите, а ваш собственный уровень какой? Вы стандартный курс линала (1-й курс технического, физического или математического вуза) прослушали?

robot80 в сообщении #876038 писал(а):

Но что это даст (дополнительное именование)? Только путаницу, мне кажется.

Ну, математикам это даёт классификацию математических объектов. Никакой же путаницы не возникает от указания, что человек - это живое существо, многоклеточное, животное, позвоночное, млекопитающее. И заодно, физическое тело, химическая и термодинамическая система :-)

robot80 в сообщении #876038 писал(а):

Хм, ну тогда придется определить, что такое просто-число, чтобы на него умножить вектор-число. Нельзя же умножать два вектор-числа :shock: .

Проблема именно в этом вашем "нельзя же". Можно! Если эта операция дополнительно определена. Просто она не входит в понятие вектора. То есть, два вектора нельзя умножать только потому, что они векторы. А вообще - иногда можно. Иногда нельзя.

Аналогично: животные не дышат воздухом только потому, что они животные. Некоторые дышат водой, некоторые воздухом.

nnosipov в сообщении #876039 писал(а):

Комплексные числа в этом отношении ровно такие же векторы, как и действительные.

Разумеется!

Если перебирать все варианты, то получится, что можно рассматривать:
- рациональные числа $\mathbb{Q}$ как векторы над полем рациональных чисел $\mathbb{Q}$;
- действительные числа $\mathbb{R}$ как векторы над полем рациональных чисел $\mathbb{Q}$;
- комплексные числа $\mathbb{C}$ как векторы над полем рациональных чисел $\mathbb{Q}$;
- действительные числа $\mathbb{R}$ как векторы над полем действительных чисел $\mathbb{R}$;
- комплексные числа $\mathbb{C}$ как векторы над полем действительных чисел $\mathbb{R}$;
- комплексные числа $\mathbb{C}$ как векторы над полем комплексных чисел $\mathbb{C}$;
и ещё больше вариантов, если включить в рассмотрение $\mathbb{Q}+i\mathbb{Q}$ - рационально-комплексные числа. (Можно расширять поле $\mathbb{Q}$ ещё кучей способов, бесконечным количеством, всё это можно найти в курсе алгебры.)

-- 16.06.2014 17:16:26 --

robot80 в сообщении #876044 писал(а):

Говорю, что будем обозначать $\sqrt{-1}$ буквой i и называть мнимой единицей.

Это же неверно. Корней из $-1$ две штуки.

[Oleg Zubelevich]

Munin в сообщении #876063 писал(а):

Можно пополнять поле $\mathbb{Q}$ ещё кучей способов,

вообще-то пополнение метрического пространства единственно с точностью до изометрического изоморфизма