Два из трёх квадраты

[nnosipov]

Взаимно простые натуральные числа $a$, $b$, $c$ таковы, что $(a-b)^2$ кратно $c$, $(b-c)^2$ кратно $a$, $(c-a)^2$ кратно $b$. Докажите, что хотя бы два из чисел $a$, $b$, $c$ являются точными квадратами.

[ИСН]

Ну ладно, есть серия решений $n^2,m^2,(n+m)^2$.
Ещё есть $(1,n+1,n^2)$.
Есть тривиальная $(1,1,n)$.
Но вот это - $(1,16,45)$ - это-то откуда?
Люблю такие задачи: думаешь, что всё понял, и тут сверху прилетает лом.

[nnosipov]

ИСН в сообщении #874725 писал(а):

Люблю такие задачи: думаешь, что всё понял, и тут сверху прилетает лом.

Да, я тоже порядком голову поломал

В общем, это опять Пелль, но здесь проще по старинке, методом спуска. Нужно только сообразить, как спуститься на ступеньку вниз. Посмотрите, кстати, ещё и эту тему topic85348.html

[ИСН]

Гасите свет! Они на свет лезут!
Это дерево! Побей меня Ктулху, это чёртово дерево во все три стороны!
Если $(a,b,c)$ - решение, то и $(a,b,{(a-b)^2\over c})$ - тоже решение! Так, что ли?

[nnosipov]

ИСН в сообщении #874732 писал(а):

Если $(a,b,c)$ - решение, то и $(a,b,{(a-b)^2\over c})$ - тоже решение! Так, что ли?

Так и есть

[ИСН]

А, ну тогда всё. Если так прокрутить наибольшее число в тройке, то это и есть спуск. Все деревья растут от решений $(1,1,n)$ (которые дальше падают в 0; других таких решений со взаимно простыми нет). И если у нас был квадрат, то и дальше вместо него будет квадрат. А было минимум два квадрата.

-- менее минуты назад --

Структура дерева напомнила that of $x^2+y^2+z^2=3xyz$.

[nnosipov]

ИСН в сообщении #874760 писал(а):

А, ну тогда всё.

Да, всё верно.

-- Пт июн 13, 2014 16:18:06 --

ИСН в сообщении #874760 писал(а):

Структура дерева напомнила that of $x^2+y^2+z^2=3xyz$.

Был соблазн описать все тройки $(a,b,c)$, но получается Пелль со многими буквами. Как-то не очевидно, что получится простое описание (скорее очевидно, что не получится). Видимо, такие штуки ближе к уравнению Маркова, а там дерево, и проще вряд ли можно.