Поток векторного поля.

[xyzintegral]

Помогите, пожалуйста, разобраться с такой задачей:
Найти поток $\Phi$ поля вектора $\overline{a}=(0;1+z-y;3x-2y-2z)$ через плоскость $3x+2y-z=6$, вырезанную пл-тями $x=0, y=0, z=0$ в сторону нормали $\vec n$, направленной от начала координат.

Нарисовал картинку:


Помогите, пожалуйста, разобраться с такой задачей:
Найти поток $\Phi$ поля вектора $\overline{a}=(0;1+z-y;3x-2y-2z)$
через плоскость $3x+2y-z=6$, вырезанную пл-тями $x=0, y=0, z=0$ в сторону нормали $\vec n$, направленной от начала координат.

$z=3x+2y-6$

$\vec n=(3;2;-1)$

$\vec n_0=\dfrac{\vec{n}}{|\vec{n}|}=\left(\dfrac{3}{\sqrt{14}};\dfrac{2}{\sqrt{14}}:\dfrac{-1}{\sqrt{14}}\right)$

$dS=\sqrt{14}dxdy$

$$\Phi=\displaystyle\iint_S\left(\dfrac{3}{\sqrt{14}}(1+z-y)-\dfrac{1}{\sqrt{14}}(3x-2y-2z)\right)dS=$$

$$=\displaystyle\iint_D(2(1+3x+2y-6)+(-1)(3x-2y-2(3x+2y-6)))dxdy=$$

$$=\displaystyle\iint_D(9x+10y-24)dxdy=\int_0^2dx\int_0^{3-1,5x}(9x+10y-24)dy$$

верна ли идея решения (не про арифметику речь)?

[svv]

Идея решения верна. А что касается арифметики — ну так не о ней же речь!

[xyzintegral]

Спасибо! а с направлением нормали (то есть с минусами не напутал?)

[svv]

Нет, всё в порядке, направление нормали правильное.

Вы нашли вектор нормали $\mathbf n=(3,2,-1)$. Отложим его от начала координат, конец будет, понятно, в точке $(3,2,-1)$. В нашей плоскости эта точка не лежит: если подставить в левую часть уравнения плоскости $3x+2y-z=6$, получится $14$, а надо $6$. Но если умножить $\mathbf n$ на $\lambda=\frac 6{14}$, конец $\lambda\mathbf n$ уже будет лежать в плоскости. Иначе говоря, вектор $\lambda\mathbf n$ направлен от начала координат к плоскости. Значит, и $(3,2,-1)$ тоже, так как отличается от него положительным коэффициентом.

А вот если бы вместо $6$ было отрицательное число, тогда для выполнения условия «нормаль направлена от начала координат» надо было бы изменить направление $\mathbf n$ на противоположное, умножив его на отрицательное $\lambda$.

(Оффтоп)

Сколько ещё поколений студентов будут в подобных задачах вычислять модуль $|\mathbf n|=\sqrt{n_x^2+n_y^2+n_z^2}$, который всё равно потом сокращается? Понятно, так требуют. Но всё же посмотрите замечание здесь, а может, и всю ту тему.

У меня вместо $9x+10y-24$ получилось другое выражение, проверьте.