inequality

[fibonacci]

Let $a,b,c$ be positive integers such that
$ a^2+b^2 =c^2(1+ab) ,$ prove that $ a\geq c $ and $ b\geq c$

[nnosipov]

fibonacci в сообщении #874331 писал(а):

Let $a,b,c$ be positive integers such that
$ a^2+b^2 =c^2(1+an) ,$ prove that $ a\geq c $ and $ b\geq c$

На самом деле $c=\gcd{(a,b)}$. (Если, конечно, там опечатка: вместо $n$ должно быть $b$.)

[ex-math]

Очевидно, $(a,b)\mid c$. Но откуда получилось равенство?

[nnosipov]

ex-math в сообщении #874390 писал(а):

Но откуда получилось равенство?

Нужно честно решить уравнение Пелля относительно $a$ и $b$ ($c$ --- параметр).

[ex-math]

Такое $(2a-c^2b)^2-(c^4-4)b^2=4c^2$? Кажется, это довольно большая работа.

[nnosipov]

ex-math в сообщении #874471 писал(а):

Такое $(2a-c^2b)^2-(c^4-4)b^2=4c^2$?

Можно и такое, но здесь, действительно, возиться больше придётся. Побыстрее можно вот так.

Задача. Натуральные числа $a$ и $b$ таковы, что число

$$ c=\frac{a^2+b^2}{ab+1} $$

является целым. Докажите, что $\gcd{(a,b)}=\sqrt{c}$.

Решение. При $c \in \{1,2\}$ утверждение легко проверить. Считая $c \geqslant 3$ фиксированным, решим уравнение

$$ a^2+b^2-cab=c \eqno(*) $$

в целых числах $a$, $b$. Имеем

$$ a^2+b^2-cab=(a-b\varepsilon)(a-b\varepsilon^{-1}), \quad \varepsilon=\frac{c+\sqrt{c^2-4}}{2}. $$

Предположим, что $a-b\varepsilon>0$. Тогда существует $k \in \mathbb{Z}$, что для числа

$$ \alpha_*=a_*-b_*\varepsilon=\frac{a-b\varepsilon}{\varepsilon^k} $$

выполняются неравенства

$$ \sqrt{c/\varepsilon} \leqslant \alpha_*<\sqrt{c\varepsilon}, $$

при этом $(a_*,b_*)$ --- некоторое решение уравнения $(*)$. Оценим

$$ b_*=\frac{-(a_*-b_*\varepsilon)+(a_*-b_*\varepsilon^{-1})} {\varepsilon-\varepsilon^{-1}}=\frac{-\alpha_*+c/\alpha_*} {\varepsilon-\varepsilon^{-1}}. $$

Поскольку функция

$$ f(\alpha)=\frac{-\alpha+c/\alpha}{\varepsilon-\varepsilon^{-1}} $$

убывает при положительных $\alpha$, то

$$ b_* \in (f(\sqrt{c\varepsilon}),f(\sqrt{c/\varepsilon})]=\mathcal{I}(c). $$

Можно проверить, что $\mathcal{I}(c) \subset (-1,1)$ при любом $c \geqslant 3$. Значит, $b_*=0$, а $a_*=\sqrt{c}$ (в частности, если $c$ не является точным квадратом, то уравнение $(*)$ решений не имеет).

Итак, все решения $(a,b)$ уравнения $(*)$ можно найти из равенства

$$ a-b\varepsilon=\pm \sqrt{c}\,\varepsilon^k, \quad k \in \mathbb{Z}. $$

Можно указать и явные формулы:

$$ a=\mp F_{k-1}(c)\sqrt{c}, \quad b=\mp F_k(c)\sqrt{c}, $$

где $F_k(c)$ определяются формулой

$$ F_k(c)=\frac{\varepsilon^k-\varepsilon^{-k}}{\varepsilon-\varepsilon^{-1}}, \quad k \in \mathbb{Z}. $$

В частности, все решения $(a,b)$ с условием $1 \leqslant a \leqslant b$ таковы:

$$ a=F_{k-1}(c)\sqrt{c}, \quad b=F_k(c)\sqrt{c}, $$

где $k \geqslant 2$. Осталось заметить, что $\gcd{(F_{k-1}(c),F_k(c))}=1$. Действительно, это легко следует из рекуррентного соотношения

$$ F_{k+1}(c)-cF_k(c)+F_{k-1}(c)=0 $$

и стартовых равенств $F_0(c)=0$, $F_1(c)=1$.

[ex-math]

Подробно разобрать сейчас, увы, не успеваю, но не могу не отметить: Ваш большой опыт и тонкое чутье в таких задачах просто восхищают

[nnosipov]

Спасибо, это была домашняя заготовка