Поток векторного поля

[Limit79]

Здравствуйте!

Есть такая задачка: Вычислить поток векторного поля

$$\vec{F} = y^2 \cdot \vec{i} + z^2 \cdot \vec{j}$$

через поверхность полусферы

$$x^2+y^2+z^2=a^2$$

при

$$z \geqslant 0$$

в направлении внешней нормали.

Угол между вектором нормали и осью $Oz$ острый, тогда

$$\vec{n^{0}} = \frac{-(z'_{x})^2 \cdot \vec{i}-(z'_{y})^2 \cdot \vec{j} + \vec{k}}{\sqrt{(z'_{x})^2 + (z'_{y})^2 + 1}} = \frac{\frac{x}{\sqrt{a^2-x^2-y^2}} \cdot \vec{i} + \frac{y}{\sqrt{a^2-x^2-y^2}} \cdot \vec{j}+ \vec{k}}{\sqrt{\frac{a^2}{a^2-x^2-y^2}}} = \frac{x \cdot \vec{i} + y \cdot \vec{j} + \sqrt{a^2-x^2-y^2} \cdot \vec{k}}{|a|}$$

Тогда

$$\vec{F} \cdot \vec{n^{0}} = \frac{xy^2 + yz^2}{|a|}$$

$$dS = \frac{dxdy}{|\cos(\gamma)|} = \frac{|a|}{\sqrt{a^2-x^2-y^2}} dxdy$$

и

$$\text{П} = \iint\limits_{S} \vec{F} \cdot \vec{n^{0}} dS = \iint\limits_{D_{xy}} \frac{xy^2 + y \cdot (a^2-x^2-y^2)}{|a|} \cdot \frac{|a|}{\sqrt{a^2-x^2-y^2}} dxdy = \iint\limits_{D_{xy}} \frac{xy^2+y \cdot (a^2-x^2-y^2)}{\sqrt{a^2-x^2-y^2}} dxdy$$

По формуле Остроградского-Гаусса, поток через часть сферы плюс часть плоскости $z=0$, очевидно, равен нулю.

Поток через часть плоскости $z=0$ тоже равен нулю.

Тогда искомый поток тоже должен быть равен нулю, но интеграл

$$\iint\limits_{D_{xy}} \frac{xy^2+y \cdot (a^2-x^2-y^2)}{\sqrt{a^2-x^2-y^2}} dxdy$$

не равен нулю...

Подскажите, пожалуйста, что я делаю не так

[mihiv]

Этот интеграл посчитали неправильно:

Limit79 в сообщении #874231 писал(а):

$$\iint\limits_{D_{xy}} \frac{xy^2+y \cdot (a^2-x^2-y^2)}{\sqrt{a^2-x^2-y^2}} dxdy$$

Он равен 0.

[Limit79]

mihiv
Ваша правда

Когда считал, случайно добавил игреку вторую степень

Спасибо!

-- 11.06.2014, 13:10 --

Кстати, а можно ли как-нибудь сразу сказать, что этот интеграл равен нулю?

[popolznev]

Limit79 в сообщении #874237 писал(а):

Кстати, а можно ли как-нибудь сразу сказать, что этот интеграл равен нулю?

Симметричная область, нечетность.

[Limit79]

popolznev
Спасибо!