Сходимость интеграла

[Ssheh]

Nemiroff в сообщении #873696 писал(а):

Какие-то случайные символы. Удивительно, что вы ещё знак интеграла всюду пишете.

$\int\limits_0^1 dx$ внезапно! сходится. А $\int\limits_0^1 \ln x dx$ сходится ещё более внезапно.

Вы можете копировать, а то непонятно вообще о чем вы говорите.

SpBTimes в сообщении #873692 писал(а):

Почему? И интеграл зависит от параметра вообще-то

В общем он сходится, но непонятно какое же он имеет отношение к моей задаче?

[Nemiroff]

Ssheh в сообщении #873697 писал(а):

Вы можете копировать, а то непонятно вообще о чем вы говорите.

Непонятно, о чём вы говорите.
Я вас попросил

Nemiroff в сообщении #873680 писал(а):

Докажите.

В ответ пришло нечто случайно сформированное

Ssheh в сообщении #873691 писал(а):

$$\int\limits_0^a \frac{\ln(x)}{x}dx=(x=\frac{1}{t})= \int\limits_\frac{1}{a}^\infty \frac{\ln(\frac{1}{t})}{t}dt $$

и последний расходится

Ssheh в сообщении #873697 писал(а):

В общем он сходится, но непонятно какое же он имеет отношение к моей задаче?

В каком общем?
Вам дали интеграл

$$ \int\limits_0^a \frac{\ln(x)}{x^{\alpha}}dx $$

исследуйте его на сходимость.

[Ssheh]

Nemiroff в сообщении #873700 писал(а):

В каком общем?
Вам дали интеграл

$$ \int\limits_0^a \frac{\ln(x)}{x^{\alpha}}dx $$

исследуйте его на сходимость.

1) при $\alpha > 0$ получаем $ \int\limits_0^a \frac{\ln(x)}{x^{\alpha}}dx $ , который расходится
2) при $\alpha < 0$ получаем $ \int\limits_0^a \ln(x) x^{\alpha}dx $ , который сходится
3) при $\alpha = 0$ получаем $ \int\limits_0^a \ln(x)dx $ , который сходится

[SpBTimes]

Это неверно

[Ssheh]

SpBTimes в сообщении #873727 писал(а):

Это неверно

Почему? Я так понимаю мы по эквивалентности наш изначальный интеграл приводим к

$$ \int\limits_0^\pi \frac{\ln(x)}{x^{\frac{1}{2}}}dx $$

Но тут я сталкиваюсь с проблемой. С чего начать?

[SpBTimes]

Потому я и написал, что надо сначала разобраться с интегралом

Ssheh в сообщении #873704 писал(а):

$$ \int\limits_0^a \frac{\ln(x)}{x^{\alpha}}dx $$

[Ssheh]

SpBTimes в сообщении #873752 писал(а):

Потому я и написал, что надо сначала разобраться с интегралом

Ssheh в сообщении #873704 писал(а):

$$ \int\limits_0^a \frac{\ln(x)}{x^{\alpha}}dx $$

Я попробовал сделать так :

$ \int\limits_0^a \frac{\ln(x)}{\sqrt{x}}dx = (\frac{1}{\sqrt{x}}=t , dx=\frac{-1}{2t^3}) =\int\limits_{\frac{1}{\sqrt{\pi}}}^{\infty} \frac{- \ln(t)}{t^2}dx $
Так я сделал, потому что увидел в учебнике, что ||| $ ( \frac{\ln(x)}{\sqrt{x}} )^3 < \frac{1}{x^{5/4}} $ ||| , а $\int \limits_1^\infty \frac{1}{x^{5/4}} $ сходится из чего следует сходимость первого. Можно ли здесь также ограничить?

[Otta]

Ну если Вы понимаете, откуда взялась оценка из учебника, то конечно, поступите аналогично.