Задача на самоиндукцию.

[Contr-se]

Имеется проводащее кольцо радиусом R. Определить индуктивность этого кольца.

Это все условие.
Я решила эту задачу, но подразумевая, что у кольца есть некое сопротивление. Или тут речь идет о сверхпроводнике?
Подскажите, пожалуйста.

update
и вот еще какой вопрос:
такая формула имеет место быть в решении этой задачи?

$$B=\mu_0*\frac I l$$

[Хет Зиф]

Contr-se
Существенно знать толщину провода, сопротивление здесь ни при чем.

[Contr-se]

Хет Зиф
Без сопротивления данное кольцо будет являться сверхпроводником, и решаться задача будет по-другому. А толщена кольца не дана, но при этом задача решаема... =/
решила ее кое-как, и никто мне с ней помочь не может, так как условие пугает своей загадочностью Оо

[peregoudov]

Contr-se,
Вы уверены, что индуктивность, а не индукцию магнитного поля (в центре кольца). Нужен контекст. Какой предмет изучаете, откуда у Вас эта задача? (Ответы типа "преподаватель задал" не помогут. В связи с чем задал? и т. п.)

[Contr-se]

peregoudov
Да. Уверена. Индуктивность. Если бы индукцию, я бы сюда не писала Оо
МГТУ им. Баумана.
Физика. Курс "Электричество и магнетизм". Дали задачу на "подумать".

[Iliya]

По-моему толщина кольца существенна, так как
$L=\frac{F}{I}=2\pi\mu_0\int_{0}^{R-a}\frac{rdr}{R-r}=2\pi\mu_0(R\,\ln \left( R \right) -R+a-R\,\ln \left( a \right))$

[Fgolm]

Толщина действительно важна. По определению, собственная индуктивность витка равна отношению собственного потокосцепления к току, протекающему по витку.
Виток с площадью поперечного сечения, равной $S$ можно представить в виде набора элементарных витков с токами $\Delta i_k $ и площадью $\Delta s_k $. Тогда поток, сцепленный с каждым элементарным витком определяется элементарными токами всех остальных элементарных витков (током выделенного элементарного витка в создании потока можно пренебреч). Учитывая равномерное распределение тока по сечению витка, от $\Delta i_k $ перейдем к $i\frac{{\Delta s_k }}{S}$.

[Sidar]

Contr-se писал(а):

Имеется проводащее кольцо радиусом R. Определить индуктивность этого кольца.

Это все условие.
Я решила эту задачу, но подразумевая, что у кольца есть некое сопротивление. Или тут речь идет о сверхпроводнике?
Подскажите, пожалуйста.

update
и вот еще какой вопрос:
такая формула имеет место быть в решении этой задачи?

$$B=\mu_0*\frac I l$$

==========================
Данная задача, вне всяких сомнений, поставлена не вполне корректно. Во-первых в реальных проводниках электрической цепи различают «внешнюю индуктивность» и «внутреннюю индуктивность». Величина внутренней индуктивности может превышать значение внешней индуктивности, в частности, для стальных проводников, обладающих магнитными свойствами (в условиях задачи магнитные свойства проводника не указаны). Во-вторых, речь очевидно идёт о воздушной внешней среде или вакууме (что также в условиях задачи не отмечено). Не ясна также требуемая точность расчёта (задача -- физическая или математическая?). «Сверхпроводимость» кольца здесь, действительно, не при чём и никак не влияет на собственную индуктивность кольца, поскольку внешняя индуктивность (как основной предмет рассмотрения данной задачи) определяется только свойствами внешней среды и размерными параметрами контура.
Физический смысл электрической собственной индуктивности хорошо определяется формулой

Le = w w / RM ,

где w – число витков,
RM – магнитное сопротивление на пути магнитного потока самоиндукции.

В результате задача сводится к расчёту величины этого магнитного сопротивления с различной требуемой степенью точности. В первом приближении величина магнитного сопротивления и индуктивности (при w = 1) определяется элементарно через среднюю длину магнитных силовых линий и площадь контура (кольца).
При больших диаметрах кольца электрическую индуктивность можно определить через погонную индуктивность линейного проводника с длиной равной окружности кольца. Соотношения для погонной индуктивности различных проводов достаточно полно исследованы применительно к высоковольтным линиям электропередачи (ЛЭП) энергосистем.
Кроме того, с некоторых пор (а именно, с 80 - х годов прошлого века) в природе выявлено существование также и «магнитной индуктивности», измеряемой в фарадах, что ещё более усиливает неопределённость постановки задачи по определению «индуктивности» ( какой индуктивности – электрической или магнитной?). Кольцо может быть элементом не только электрической цепи (в магнитной внешней среде), но и элементом магнитной цепи (в диэлектрической или проводящей внешней среде).
. В результате своим преподавателям можете смело поставить «двойку» за предельно неопределённые условия задачи (разумеется, если это так специально не было задумано, чтобы в задаче было над чем «подумать».

Что касается достоверности «такой формулы как B = m0 * I / l », то это лишь частный вариант (для воздуха или вакуума) известного выражения (Iw = H l), эквивалентного интегральному выражению «Закона полного электрического тока» или первого уравнения «системы уравнений Максвелла».

[photon]

photon:

Sidar,
На форуме принято записывать формулы, используя нотацию ($\TeX$; введение, справка).

[peregoudov]

Contr-se,
извините, если обидел. Просто имею негативный опыт общения со случайными гостями форума.

Хет Зиф писал(а):

Существенно знать толщину провода, сопротивление здесь не причем.

Хет Зиф прав. (Только надо писать "ни при чем".)

Iliya писал(а):

По-моему толщина кольца существенна, так как
$L=\frac{F}{I}=2\pi\mu_0\int_{0}^{R-a}\frac{rdr}{R-r}=2\pi\mu_0(R\,\ln \left( R \right) -R+a-R\,\ln \left( a \right))$

Это неправильное решение.

Ваша задача есть в книге
Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц "Электродинамика сплошных сред" (восьмой том известного курса), задача 2 к параграфу 34.

Если $R\gg a$ ($a$ --- радиус провода), то главный член в индуктивности имеет вид $\ln R/a$. Если сохранять только этот член (вообще полагается удерживать еще константу, а вот положительные степени $a/R$ можно уже откинуть), что называется логарифмическим приближением, то задачу можно решить буквально на пальцах. Нужно посчитать поток магнитного поля через кольцо. Ясно, что логарифмический член будет набегать за счет области вблизи провода. Но в этой области можно рассчитывать поле как для прямого провода, поэтому $B=\mu_0 I/2\pi r$, $r$ --- расстояние до провода. Остается проинтегрировать вдоль провода, что даст множитель $2\pi R$, а в интеграле поперек нас интересует только нижний предел, верхний же нужно взять порядка $R$

$$\Phi=2\pi R\int_a^R\frac{\mu_0I}{2\pi r}\,dr=\mu_0 I R\ln R/a$$

Индуктивность $L=\mu_0 R\ln R/a$.

В цитированной книге приведен ответ

$$L=\mu_0 R\left(\ln\frac{8R}a-\frac74\right)$$

,
но из текста не вполне ясно, ручаются ли авторы за константу $\ln8-7/4$.

[MOPO3OB]

Я

Цитата:

решила эту задачу, но подразумевая, что у кольца есть некое сопротивление. Или тут речь идет о сверхпроводнике?
Подскажите, пожалуйста.

тут речь о ПРОВОДЯЩЕМ кольце ...

существенна только геометрия кольца и магнитная проницаемость среды...
для ВЗАИМНОЙ индуктивности не существенна проницаемость - только геометрия...

[Contr-se]

peregoudov
я не обиделась, не было повода
Спасибо за помощь, буду разбираться.

Все-таки речь идет о сверхпроводнике. Я уточнила у преподавателя. Он сказал, что толщена не существенна, так как кольцо принимаем за тонкий обруч (хотя, тут я считаю, уже погрешность в условии, все-таки кольцо и стержень - это далеко не одно и то же).

[Sidar]

MOPO3OB писал(а):

...существенна только геометрия кольца и магнитная проницаемость среды...
для ВЗАИМНОЙ индуктивности не существенна проницаемость - только геометрия...

============================
Вторая часть утверждения абсолютно не верна!
Взаимная индуктивность, также как и собственная индуктивность, в равной мере зависит от проницаемости окружающей (промежуточной) среды, а именно, от магнитной проницаемости среды -- для электрической взаимоиндуктивности (также как и для собственной электрической индуктивности, являющейся её частным случаем).

[peregoudov]

Contr-se писал(а):

Все-таки речь идет о сверхпроводнике.

В Ландау-Лифшице индуктивность разбивается на две части: внутреннюю и внешнюю. Сверхпроводимость означает, что внутренний вклад равен нулю (магнитного поля в сверхпроводнике нет). Но в решении "на пальцах" этот вклад и так отбрасывется, поскольку он меняет только константу (я привел значение для магнитной проницаемости проводника, равной единице), но не логарифм.

Цитата:

Он сказал, что толщена не существенна,

Тут он однозначно не прав.

[Contr-se]

Цитата:

Тут он однозначно не прав.

А если речь идет о проволоке, площадь сечение которой пренебрежимо мало?