Доказать равенство

[SlayZar]

Необходимо доказать равенство, предполагая, что интеграл в левой части сходится.
$\int\limits_{{0}}^{{+\infty}} {f(x^2)}\ dx = \alpha \int\limits_{{0}}^{{+\infty}} {f(\alpha^2x^2-2\alpha\beta+\frac{\beta^2}{x^2}) }\ dx$, где $\alpha>0, \beta>0$

Обычно в таких задачах необходимо делать замену в левой части. В данном случае $x^2=t$
Тогда получаем $\int\limits_{{0}}^{{+\infty}} {\frac{f(t) }{2\sqrt{t}}}dt$. Делаем еще одну замен $2\sqrt{t}=s$
Тогда получаем $\frac{1}{2}\int\limits_{{0}}^{{+\infty}} {f(\frac{1}{2}^2s^2)}\ ds$.

Похоже на то, что нужно получить, если принять $\alpha = \frac{1}{2}$, но все равно не то.
И нам же надо доказать для любого $\alpha$, но как это сделать, если слева нет ни $\alpha$, ни $\beta$?
Может быть надо работать с правой части, но дана сходимость только интеграла в левой части... Помогите пожалуйста!

[ИСН]

Обычно таких задач не бывает, а замену надо делать совсем другую и не в той части.

[SlayZar]

То есть так надо пробовать заменить?
$\alpha^2x^2-2\alpha\beta+\frac{\beta^2}{x^2} = t$

[SpBTimes]

Да

[SlayZar]

Тогда $dx=\frac{x^3}{2 \alpha^2 x^4-2\beta^2}dt$

Нам тогда надо выразить x через t
$t=\frac{(\alpha x^2-\beta)^2}{x^2}$

$t=(\alpha x - \frac{\beta}{x})^2$, но x все равно не выражается...

И правильно ли, что при такой замене нижний предел интегрирования станет равен верхнему $+\infty$?

[SpBTimes]

Ну неправильно конечно, ваша замена не монотонна.

[SlayZar]

Вы же сами написали что надо эту и замену делать...
Можете подсказать, как понять какую замену сделать в такой ситуации

[SpBTimes]

На участках монотонности можете делать эту замену. А вообще, выделите полный квадрат, я сразу не посмотрел. И попробуйте $t = (\alpha x - \frac{\beta}{x})$

[SlayZar]

Тогда получаем $\int\limits_{{0}}^{{+\infty}} \frac{{f(t^2)}}{\alpha+\frac{\beta}{x^2}}dt$
Но как нам из $t=(\alpha x-\frac{\beta}{x})$ выразить $x$? Или есть какой-то другой способ?
Там если в лоб выражать, то получается жуткий ответ. Если правильно посчитал, то $x=\frac{t+-\sqrt{4 \alpha \beta+t^2}}{2\alpha}$. Но ведь это не поможет...

[ИСН]

Разберитесь с участками монотонности. Разберитесь со знаком $\pm$ - на одном участке это плюс, а на другом не плюс. Потом сделайте то, что не поможет.