2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Является ли ли образ гомоморфизма идеалом?
Сообщение03.06.2014, 10:49 
Аватара пользователя


03/01/12
32
Пусть $f: A\rightarrow B$ - гомоморфизм колец. Является ли $\operatorname{Im} f$ идеалом кольца $B$?

Первое, что пришло в голову. Пусть $A$ и $B$ - кольца с единицами, и $e_A$, $e_B$ - единичные элементы колец $A$ и $B$ соответственно. Тогда в силу гомоморфизма: $f(e_A)=e_B$ и $e_B\in \operatorname{Im} f$.
Можем записать следующее равенство для элемента ${b\in B}, {b\notin\operatorname{Im} f}$: $$b\cdot e_B=b.$$
А так как результат этого произведения не принадлежит ${\operatorname{Im} f}$, значит, ${\operatorname{Im} f}$ не является идеалом кольца $B$.

А если кольца без единиц?

 Профиль  
                  
 
 Re: Являетсли ли образ гомоморфизма иделаом?
Сообщение03.06.2014, 10:54 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
Вы указали пример, когда образ "не идеален" :D . Если же, например, образ совпадает со всем кольцом, то он автоматически будет идеалом. Какой вывод отсюда следует?

 Профиль  
                  
 
 Re: Являетсли ли образ гомоморфизма иделаом?
Сообщение03.06.2014, 11:32 
Аватара пользователя


03/01/12
32
Вывод? Хм. Может быть, что все зависит от того, какой гомоморфизм? Если он сюръективный, то образ будет идеалом.

Кстати, я ошибся в своих рассуждениях.
eg__13 в сообщении #871305 писал(а):
Тогда в силу гомоморфизма: $f(e_A)=e_B$ и $e_B\in \operatorname{Im} f$.

Для колец это не верно, и мы не знаем, переходит ли единичный элемент в единичный.

 Профиль  
                  
 
 Re: Являетсли ли образ гомоморфизма иделаом?
Сообщение03.06.2014, 11:37 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
eg__13 в сообщении #871325 писал(а):
Вывод? Хм. Может быть, что все зависит от того, какой гомоморфизм? Если он сюръективный, то образ будет идеалом.

Кстати, я ошибся в своих рассуждениях.
eg__13 в сообщении #871305 писал(а):
Тогда в силу гомоморфизма: $f(e_A)=e_B$ и $e_B\in \operatorname{Im} f$.

Для колец это не верно, и мы не знаем, переходит ли единичный элемент в единичный.
Тем не менее, легко привести пример гомоморфизма колец, для которого это будет верно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Являетсли ли образ гомоморфизма иделаом?
Сообщение03.06.2014, 23:52 
Аватара пользователя


03/01/12
32
А если рассмотреть различные варианты?
  • Образ совпадает с кольцом. В этом случае образ является идеалом.
  • Образ не совпадает с кольцом и содержит единичный элемент. В этом случае образ НЕ является идеалом.
  • Образ не совпадает с кольцом и НЕ содержит единичный элемент.
А как быть с последним пунктом?

 Профиль  
                  
 
 Re: Являетсли ли образ гомоморфизма иделаом?
Сообщение04.06.2014, 06:30 
Заслуженный участник


11/11/07
1198
Москва
eg__13 в сообщении #871594 писал(а):
Образ не совпадает с кольцом и НЕ содержит единичный элемент.

Может быть идеалом, может не быть.

 Профиль  
                  
 
 Re: Являетсли ли образ гомоморфизма иделаом?
Сообщение04.06.2014, 06:33 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5940
Если $A$ подкольцо $B$, то оно же является образом гомоморфизма вложения. Ясно, что не любое подкольцо является идеалом.

 Профиль  
                  
 
 Re: Являетсли ли образ гомоморфизма иделаом?
Сообщение08.06.2014, 16:29 
Аватара пользователя


03/01/12
32
А можно ли это все обобщить и не прибегать к рассмотрению частных случаев?

 Профиль  
                  
 
 Re: Являетсли ли образ гомоморфизма иделаом?
Сообщение09.06.2014, 06:18 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5940
eg__13 в сообщении #873173 писал(а):
А можно ли это все обобщить и не прибегать к рассмотрению частных случаев?


Любое подкольцо является образом гомоморфизма, и образ гомоморфизма всегда является подкольцом.

 Профиль  
                  
 
 Re: Являетсли ли образ гомоморфизма иделаом?
Сообщение09.06.2014, 09:03 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/12/05
5903
Новосибирск
g______d в сообщении #873534 писал(а):
Любое подкольцо является образом гомоморфизма

Возьмём в $\mathbb Z$ подкольцо чётных чисел.

 Профиль  
                  
 
 Re: Являетсли ли образ гомоморфизма иделаом?
Сообщение09.06.2014, 09:16 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5940
bot в сообщении #873545 писал(а):
Возьмём в $\mathbb Z$ подкольцо чётных чисел.


Мы либо рассматриваем кольца с единицей, либо нет. В первом случае подкольцо должно содержать единицу исходного кольца и гомоморфизмы переводить единицу в единицу (тогда $2\mathbb Z$ не будет подкольцом). Во втором случае ни то, ни то не предполагается; тогда $2\mathbb Z$ будет образом самого себя при вложении.

 Профиль  
                  
 
 Re: Являетсли ли образ гомоморфизма иделаом?
Сообщение09.06.2014, 11:15 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/12/05
5903
Новосибирск
А что будет образом $\mathbb Z$ при вложении? Вроде бы речь об образе всего кольца при гомоморфизме?

 Профиль  
                  
 
 Re: Являетсли ли образ гомоморфизма иделаом?
Сообщение09.06.2014, 11:43 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5940
При каком вложении? Возможно, я вопроса не понял. Я не утверждаю, что $A=B$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Являетсли ли образ гомоморфизма иделаом?
Сообщение09.06.2014, 18:06 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/12/05
5903
Новосибирск
Всё - отстал, что то я сегодня читаю скверно.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 14 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group