2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Обобщённые производные от дифференцируемых функций.
Сообщение09.06.2014, 01:57 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5829
Существуют функции, дифференцируемые во всех точках интервала $(0,1)$, но производные которых не интегрируемы по Лебегу и, следователньно, не принадлежат $L_{1,\mathrm{loc}}(0,1)$. У этих функций, очевидно, также существуют обобщённые производные. Вот интересно, как эти обобщённые производные связаны с обычными?

 Профиль  
                  
 
 Re: Обобщённые производные от дифференцируемых функций.
Сообщение09.06.2014, 08:51 
Заслуженный участник


22/11/10
1151
Я думаю, что эти обобщенные производные по сути (поточечно) совпадают с классической. Речь лишь идет о том, в каком смысле понимается интеграл. Так, например, для функции $f(x) = |\ln x|$ обобщенной производной будет $f'(x) = \frac {1}{x}$. Но интегралы с $f'(x)$ понимаются в смысле главного значения.
Ясно, что ситуация может быть куда более сложной, чем этот пример. Но, как мне кажется, в этом случае будет применим интеграл Данжуа (-Перрона). (Сужу по книге Сакс. Теория интеграла. Глава VIII.). Хотя ручаться не стану.

 Профиль  
                  
 
 Re: Обобщённые производные от дифференцируемых функций.
Сообщение09.06.2014, 09:21 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5829
Спасибо. Да, по-видимому, достаточно взять любой интеграл, который интегрирует производную (например, Данжуа или Курцвейля-Хенстока); в нём автоматически будет выполняться формула интегрирования по частям и, следовательно, он будет давать ответ на мой вопрос.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 3 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group