Подстановка переменных в диф.уравнение

[Daiv]

Ребят, помогите разобраться...
Вот скрин из Maple:

Мы берем диф.уравнение

PDE := diff(u(x, t), t) = diff(u(x, t), x)

В

tr := {t = tau, x = xitau, u(x, t) = tau*f(xi)}

переменные, которые заменяем.

PDEA := dchange(tr, PDE)

Тут происходит замена переменных.

Но я не могу разобраться, по какому принципу происходит замена. Помогите понять, пожалуйста...

[Pphantom]

Daiv в сообщении #873081 писал(а):

Мы берем диф.уравнение

Кстати, Вы в курсе, что это не уравнение теплопроводности?

Daiv в сообщении #873081 писал(а):

Но я не могу разобраться, по какому принципу происходит замена. Помогите понять, пожалуйста...

Производные по $x$ и $t$ можно выразить через производные по $\xi$ и $\tau$ - обычная замена переменных при дифференцировании. Потом подставить это в уравнение и упростить то, что получится.

[Daiv]

Pphantom в сообщении #873086 писал(а):

Кстати, Вы в курсе, что это не уравнение теплопроводности?.

Да, в курсе, я его специально сейчас исправил, чтобы попроще было разобраться

Pphantom в сообщении #873086 писал(а):

Производные по $x$ и $t$ можно выразить через производные по $\xi$ и $\tau$ - обычная замена переменных при дифференцировании. Потом подставить это в уравнение и упростить то, что получится.

Извините, но я всё равно не понимаю... Можете поточнее объяснить, откуда и как берется каждый члену уравнения PDEA

[Pphantom]

Daiv в сообщении #873095 писал(а):

Да, в курсе, я его специально сейчас исправил, чтобы попроще было разобраться

Так результаты же разными будут. Вы уж определитесь, с чем хотите разобраться.

Daiv в сообщении #873095 писал(а):

Извините, но я всё равно не понимаю...

Ну что ж, давайте разбираться.

Пусть у Вас есть функция $f(x)$ и Вы вычисляете ее производную $df/dx$. Сделаем замену переменной $y=y(x)$. Как выражается $df/dx$ через $df/dy$?

[Daiv]

$df/dx=(df/dy)\cdot(dy/dx)$
так?

[Pphantom]

Daiv в сообщении #873101 писал(а):

так?

Совершенно верно. Теперь чуть более сложный вопрос:

Есть функция $f=f(x,y)$. Мы хотим перейти к новым переменным $p=p(x,y)$ и $q=q(x,y)$. Как выразить $\partial f/\partial x$ через $\partial f/\partial p$ и $\partial f/\partial q$?

[Daiv]

Pphantom в сообщении #873109 писал(а):

Есть функция $f=f(x,y)$. Мы хотим перейти к новым переменным $p=p(x,y)$ и $q=q(x,y)$. Как выразить $\partial f/\partial x$ через $\partial f/\partial p$ и $\partial f/\partial q$?

$(df/dp)\cdot(dp/dx)$ и $(df/dq)\cdot(dq/dx)$

[Pphantom]

А вот теперь - нет. Во-первых, производные должны быть частными, во-вторых, два варианта для одного результата явно не годятся, должно быть что-то одно.

[Daiv]

Pphantom в сообщении #873124 писал(а):

А вот теперь - нет. Во-первых, производные должны быть частными, во-вторых, два варианта для одного результата явно не годятся, должно быть что-то одно.

Я не знаю(

[Pphantom]

Daiv в сообщении #873127 писал(а):

Я не знаю(

Ясно. Стало быть, тут дырка. Тогда смотрите:
$\frac{\partial f}{\partial p} = \frac{\partial f}{\partial x} \cdot \frac{\partial x}{\partial p} + \frac{\partial f}{\partial y} \cdot \frac{\partial y}{\partial p}$.
Схема понятна? Частная производная равна сумме произведений частных производных по "промежуточным" переменным на частные производные этих "промежуточных" переменных по желаемой. Для производной по $q$ действуем аналогично.

Теперь займемся переименованиями. Заменим $f \mapsto u$, $p \mapsto x$, $q \mapsto t$, $x \mapsto \xi$, $y \mapsto \tau$. Проделайте это и запишите два выражения для производных, у Вас получатся $\partial u/\partial x$ и $\partial u/\partial t$. Затем приравняйте их и упростите все, что удастся. Получится тот самый результат.

P.S. Правда, честно говоря, смысл возни с уравнениями в частных производных при неумении с этими самыми производными работать мне не очень понятен. Как Вас так угораздило?

[Daiv]

Pphantom в сообщении #873131 писал(а):

P.S. Правда, честно говоря, смысл возни с уравнениями в частных производных при неумении с этими самыми производными работать мне не очень понятен. Как Вас так угораздило?

Небольшое задание к дипломной работе) Огромное Вам спасибо. Пойду разбираться.

[Daiv]

А можно ли как-то посмотреть по шагам как maple решал диф. уравнение функцией dsolve??