2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Подстановка переменных в диф.уравнение
Сообщение08.06.2014, 12:48 
Ребят, помогите разобраться...
Вот скрин из Maple:
Изображение
Мы берем диф.уравнение
Код:
PDE := diff(u(x, t), t) = diff(u(x, t), x)

В
Код:
tr := {t = tau, x = xitau, u(x, t) = tau*f(xi)}
переменные, которые заменяем.
Код:
PDEA := dchange(tr, PDE)
Тут происходит замена переменных.

Но я не могу разобраться, по какому принципу происходит замена. Помогите понять, пожалуйста...

 
 
 
 Re: Подстановка переменных в диф.уравнение
Сообщение08.06.2014, 13:08 
Daiv в сообщении #873081 писал(а):
Мы берем диф.уравнение
Кстати, Вы в курсе, что это не уравнение теплопроводности?

Daiv в сообщении #873081 писал(а):
Но я не могу разобраться, по какому принципу происходит замена. Помогите понять, пожалуйста...
Производные по $x$ и $t$ можно выразить через производные по $\xi$ и $\tau$ - обычная замена переменных при дифференцировании. Потом подставить это в уравнение и упростить то, что получится.

 
 
 
 Re: Подстановка переменных в диф.уравнение
Сообщение08.06.2014, 13:21 
Pphantom в сообщении #873086 писал(а):
Кстати, Вы в курсе, что это не уравнение теплопроводности?.

Да, в курсе, я его специально сейчас исправил, чтобы попроще было разобраться

Pphantom в сообщении #873086 писал(а):
Производные по $x$ и $t$ можно выразить через производные по $\xi$ и $\tau$ - обычная замена переменных при дифференцировании. Потом подставить это в уравнение и упростить то, что получится.

Извините, но я всё равно не понимаю... Можете поточнее объяснить, откуда и как берется каждый члену уравнения PDEA

 
 
 
 Re: Подстановка переменных в диф.уравнение
Сообщение08.06.2014, 13:38 
Daiv в сообщении #873095 писал(а):
Да, в курсе, я его специально сейчас исправил, чтобы попроще было разобраться
Так результаты же разными будут. Вы уж определитесь, с чем хотите разобраться.

Daiv в сообщении #873095 писал(а):
Извините, но я всё равно не понимаю...
Ну что ж, давайте разбираться.

Пусть у Вас есть функция $f(x)$ и Вы вычисляете ее производную $df/dx$. Сделаем замену переменной $y=y(x)$. Как выражается $df/dx$ через $df/dy$?

 
 
 
 Re: Подстановка переменных в диф.уравнение
Сообщение08.06.2014, 13:43 
$df/dx=(df/dy)\cdot(dy/dx)$
так?

 
 
 
 Re: Подстановка переменных в диф.уравнение
Сообщение08.06.2014, 13:54 
Daiv в сообщении #873101 писал(а):
так?

Совершенно верно. Теперь чуть более сложный вопрос:

Есть функция $f=f(x,y)$. Мы хотим перейти к новым переменным $p=p(x,y)$ и $q=q(x,y)$. Как выразить $\partial f/\partial x$ через $\partial f/\partial p$ и $\partial f/\partial q$?

 
 
 
 Re: Подстановка переменных в диф.уравнение
Сообщение08.06.2014, 14:12 
Pphantom в сообщении #873109 писал(а):
Есть функция $f=f(x,y)$. Мы хотим перейти к новым переменным $p=p(x,y)$ и $q=q(x,y)$. Как выразить $\partial f/\partial x$ через $\partial f/\partial p$ и $\partial f/\partial q$?

$(df/dp)\cdot(dp/dx)$ и $(df/dq)\cdot(dq/dx)$

 
 
 
 Re: Подстановка переменных в диф.уравнение
Сообщение08.06.2014, 14:19 
А вот теперь - нет. Во-первых, производные должны быть частными, во-вторых, два варианта для одного результата явно не годятся, должно быть что-то одно.

 
 
 
 Re: Подстановка переменных в диф.уравнение
Сообщение08.06.2014, 14:26 
Pphantom в сообщении #873124 писал(а):
А вот теперь - нет. Во-первых, производные должны быть частными, во-вторых, два варианта для одного результата явно не годятся, должно быть что-то одно.

Я не знаю(

 
 
 
 Re: Подстановка переменных в диф.уравнение
Сообщение08.06.2014, 14:41 
Daiv в сообщении #873127 писал(а):
Я не знаю(
Ясно. Стало быть, тут дырка. Тогда смотрите:
$\frac{\partial f}{\partial p} = \frac{\partial f}{\partial x} \cdot \frac{\partial x}{\partial p} +  \frac{\partial f}{\partial y} \cdot \frac{\partial y}{\partial p}$.
Схема понятна? Частная производная равна сумме произведений частных производных по "промежуточным" переменным на частные производные этих "промежуточных" переменных по желаемой. Для производной по $q$ действуем аналогично.

Теперь займемся переименованиями. Заменим $f \mapsto u$, $p \mapsto x$, $q \mapsto t$, $x \mapsto \xi$, $y \mapsto \tau$. Проделайте это и запишите два выражения для производных, у Вас получатся $\partial u/\partial x$ и $\partial u/\partial t$. Затем приравняйте их и упростите все, что удастся. Получится тот самый результат.

P.S. Правда, честно говоря, смысл возни с уравнениями в частных производных при неумении с этими самыми производными работать мне не очень понятен. Как Вас так угораздило?

 
 
 
 Re: Подстановка переменных в диф.уравнение
Сообщение08.06.2014, 14:58 
Pphantom в сообщении #873131 писал(а):
P.S. Правда, честно говоря, смысл возни с уравнениями в частных производных при неумении с этими самыми производными работать мне не очень понятен. Как Вас так угораздило?

Небольшое задание к дипломной работе) Огромное Вам спасибо. Пойду разбираться.

 
 
 
 Re: Подстановка переменных в диф.уравнение
Сообщение10.06.2014, 16:13 
А можно ли как-то посмотреть по шагам как maple решал диф. уравнение функцией dsolve??

 
 
 [ Сообщений: 12 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group