Преобразование Фурье из L1(R) в C0(C).

[sup]

А именно, для $\varepsilon > 0$ полагаем
$f_{\varepsilon }(x) = \frac{1}{2\pi}\int \limits_{-\infty}^{\infty} g(\xi)e^{-\varepsilon \xi^2}d \xi $
С помощью такой регуляризации можно восстановить $f \in L_1(R)$.
После этого можно применить этот подход к Вашему примеру.

[wolfspring]

Цитата:

Для этого нужно преобразование Фурье в $S'$

$I_{n} \over t\ln{|t|}$ и в $S'$ тоже не сходится.

-- 07.06.2014, 20:01 --

Цитата:

А именно, для $\varepsilon > 0$ полагаем
$f_{\varepsilon }(x) = \frac{1}{2\pi}\int \limits_{-\infty}^{\infty} g(\xi)e^{-\varepsilon \xi^2}d \xi $
С помощью такой регуляризации можно восстановить $f \in L_1(R)$.

При $\varepsilon \rightarrow 0$ $f_{\varepsilon} \rightarrow f$, где $f$ - фурье-прообраз?

[sup]

Насчет поведения в 0 я Вам сразу говорил. Интеграл в смысле главного значения не очень удобен для анализа. Надо бы как-то его преобразовать. Дело это не очень хитрое. Представляем комплексную экспоненту через тригонометрию, четность, нечетность, что-то сокращается и тд. В конечном итоге получим просто несобственный интеграл. По мне так он куда удобнее для анализа. Из него, кстати, легко получить непрерывность $g(x)$ и убывание на бесконечности.

-- Сб июн 07, 2014 22:08:53 --

wolfspring в сообщении #872855 писал(а):

При $\varepsilon \rightarrow 0$ $f_{\varepsilon} \rightarrow f$, где $f$ - фурье-прообраз?

А Вы как думаете? Похоже это на правду? Вопрос только в каком смысле понимается сходимость. Все это несколько занудливо, но ничего не поделаешь.
Посему вырисовывается такой план. От противного. Предположим, что найдется некая $f(x) \in L_1(R)$ такая, что $g(x)$ ее Фурье-образ. Применяя регуляризацию доказываем, что почти всюду
$f(x) = \frac{1}{x |\ln x|}$. Противоречие.

-- Сб июн 07, 2014 22:15:32 --

О, виноват, я там в регуляризации упустил комплексную экспоненту
$f_{\varepsilon }(x) = \frac{1}{2\pi}\int \limits_{-\infty}^{\infty} g(\xi)e^{-i \xi x}e^{-\varepsilon \xi^2}d \xi $

[wolfspring]

Цитата:

Представляем комплексную экспоненту через тригонометрию, четность, нечетность, что-то сокращается и тд. В конечном итоге получим просто несобственный интеграл.

Получается $g(x) = -2i \int_{0}^{1/2}{\frac{\sin (xt)}{t \ln t} dt} $

[sup]

Ну да, что-то такое. Обратите внимание, в 0 уже все не так плохо как раньше.

[wolfspring]

Цитата:

О, виноват, я там в регуляризации упустил комплексную экспоненту

И, может быть, минус в комплексной экспоненте лишний? (в обычной формуле обратного преобразования фурье нет минуса в компл. экспоненте)

[sup]

Кстати, только сейчас заметил. Может быть Вам удастся продифференцировать Вашу формулу по $x$? Так может получиться даже проще, чем вся эта возня с регуляризацией.
Минус нужен либо в прямом либо в обратном преобразовании Фурье. Равно как и $2\pi$. В разных вариациях используют либо этот множитель либо корень из него. Так что Вы сами решайте где у Вас что.