2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу Пред.  1, 2
 
 Re: Преобразование Фурье из L1(R) в C0(C).
Сообщение07.06.2014, 18:56 
А именно, для $\varepsilon > 0$ полагаем
$f_{\varepsilon }(x) = \frac{1}{2\pi}\int \limits_{-\infty}^{\infty} g(\xi)e^{-\varepsilon \xi^2}d \xi $
С помощью такой регуляризации можно восстановить $f \in L_1(R)$.
После этого можно применить этот подход к Вашему примеру.

 
 
 
 Re: Преобразование Фурье из L1(R) в C0(C).
Сообщение07.06.2014, 18:57 
Цитата:
Для этого нужно преобразование Фурье в $S'$


$I_{n} \over t\ln{|t|}$ и в $S'$ тоже не сходится.

-- 07.06.2014, 20:01 --

Цитата:
А именно, для $\varepsilon > 0$ полагаем
$f_{\varepsilon }(x) = \frac{1}{2\pi}\int \limits_{-\infty}^{\infty} g(\xi)e^{-\varepsilon \xi^2}d \xi $
С помощью такой регуляризации можно восстановить $f \in L_1(R)$.


При $\varepsilon \rightarrow 0$ $f_{\varepsilon} \rightarrow f$, где $f$ - фурье-прообраз?

 
 
 
 Re: Преобразование Фурье из L1(R) в C0(C).
Сообщение07.06.2014, 19:01 
Насчет поведения в 0 я Вам сразу говорил. Интеграл в смысле главного значения не очень удобен для анализа. Надо бы как-то его преобразовать. Дело это не очень хитрое. Представляем комплексную экспоненту через тригонометрию, четность, нечетность, что-то сокращается и тд. В конечном итоге получим просто несобственный интеграл. По мне так он куда удобнее для анализа. Из него, кстати, легко получить непрерывность $g(x)$ и убывание на бесконечности.

-- Сб июн 07, 2014 22:08:53 --

wolfspring в сообщении #872855 писал(а):
При $\varepsilon \rightarrow 0$ $f_{\varepsilon} \rightarrow f$, где $f$ - фурье-прообраз?

А Вы как думаете? :wink: Похоже это на правду? Вопрос только в каком смысле понимается сходимость. Все это несколько занудливо, но ничего не поделаешь.
Посему вырисовывается такой план. От противного. Предположим, что найдется некая $f(x) \in L_1(R)$ такая, что $g(x)$ ее Фурье-образ. Применяя регуляризацию доказываем, что почти всюду
$f(x) = \frac{1}{x |\ln x|}$. Противоречие.

-- Сб июн 07, 2014 22:15:32 --

О, виноват, я там в регуляризации упустил комплексную экспоненту
$f_{\varepsilon }(x) = \frac{1}{2\pi}\int \limits_{-\infty}^{\infty} g(\xi)e^{-i \xi x}e^{-\varepsilon \xi^2}d \xi $

 
 
 
 Re: Преобразование Фурье из L1(R) в C0(C).
Сообщение07.06.2014, 19:19 
Цитата:
Представляем комплексную экспоненту через тригонометрию, четность, нечетность, что-то сокращается и тд. В конечном итоге получим просто несобственный интеграл.


Получается $g(x) = -2i \int_{0}^{1/2}{\frac{\sin (xt)}{t \ln t} dt} $

 
 
 
 Re: Преобразование Фурье из L1(R) в C0(C).
Сообщение07.06.2014, 19:27 
Ну да, что-то такое. Обратите внимание, в 0 уже все не так плохо как раньше.

 
 
 
 Re: Преобразование Фурье из L1(R) в C0(C).
Сообщение07.06.2014, 19:33 
Цитата:
О, виноват, я там в регуляризации упустил комплексную экспоненту

И, может быть, минус в комплексной экспоненте лишний? (в обычной формуле обратного преобразования фурье нет минуса в компл. экспоненте)

 
 
 
 Re: Преобразование Фурье из L1(R) в C0(C).
Сообщение07.06.2014, 19:49 
Кстати, только сейчас заметил. Может быть Вам удастся продифференцировать Вашу формулу по $x$? Так может получиться даже проще, чем вся эта возня с регуляризацией.
Минус нужен либо в прямом либо в обратном преобразовании Фурье. Равно как и $2\pi$. В разных вариациях используют либо этот множитель либо корень из него. Так что Вы сами решайте где у Вас что.

 
 
 [ Сообщений: 22 ]  На страницу Пред.  1, 2


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group