Отображение. Инъективность и сюръективность.

[nosochego]

Добрый день.
Есть такая задача:
Доказать, что в абелевой группе отображение $x \to nx$, где $n \in \mathbb{Z}$ является эндоморфизмом. Для каких групп это отображение будет а)инъективным; б)сюръективным?

Если с доказательством эндоморфизма проблем нет, то со вторым вопросом я несколько подвисаю.
Группа получилась аддитивной.
Пока что в голову пришли только такие варианты:
а)Отображение будет инъективным, если группа не является циклической.
б)Отображение будет сюръективным в любом случае.

Не могу понять, что имеется в виду под вопросом "для каких групп".

[AV_77]

nosochego в сообщении #871624 писал(а):

Пока что в голову пришли только такие варианты:
а)Отображение будет инъективным, если группа не является циклической.
б)Отображение будет сюръективным в любом случае.

Оба мимо. Здесь все зависит от порядка группы и, естественно, числа $n$.

[Sonic86]

nosochego в сообщении #871624 писал(а):

Не могу понять, что имеется в виду под вопросом "для каких групп".

Т.е. дана произвольная абелева группа $G$. Вам надо выделить 2 подкласса во множестве абелевых групп, для которых отображение $x\to nx$ обладает указанным свойством, и как-то их описать.

nosochego в сообщении #871624 писал(а):

б)Отображение будет сюръективным в любом случае.

Это уж просто неверно. Контрпример сможете сами построить?

[nosochego]

Цитата:

Здесь все зависит от порядка группы и, естественно, числа $n$.

Получилось, что для $n$ не равного порядку группы отображение является инъективным и сюръективным.

[nnosipov]

nosochego в сообщении #871994 писал(а):

для $n$ не равного порядку группы отображение является инъективным и сюръективным

Это неверно.

[nosochego]

Получил, что сюръективности не будет, если не все элементы группы делятся на $n$. Но что делать, если у меня такие элементы, что у них деления нет? (Не числа, а нечто другое).
С инъективностью тоже ничего не понятно.
$x \to nx, y \to ny, x \ne y$
$nx = x + x + x + ... + x, n$ раз
$ny = y + y + y + ... + y, n$ раз
Допустим, что у меня отображение не инъективно и $nx = ny$
$x + x + x + ... + x = y + y + y + ... + y$
$n(x-y) = 0$
Последнее равенство будет выполняться для $n = 0$.
А вот $x - y$ вполне себе могут быть не равны нулю.

Вопрос:
$n(x-y) = 0$
Когда это равенство будет выполняться?

[Sonic86]

nosochego в сообщении #872751 писал(а):

Вопрос:
$n(x-y) = 0$
Когда это равенство будет выполняться?

Ну а когда в абелевой группе для $a,b\neq 0$ будет верно, что $a\cdot b=0$? О делителях нуля слышали?
Я Вам предлагаю разобраться сначала с частным случаем - с циклической группой (которая, очевидно, абелева). С ней разобраться легко, кроме того, Вы увидите и общие контуры.

[nosochego]

Получается, что отображение инъективно, если в группе нет делителей нуля?

[AV_77]

Sonic86 в сообщении #872806 писал(а):

Ну а когда в абелевой группе для $a,b\neq 0$ будет верно, что $a\cdot b=0$? О делителях нуля слышали?

Ого, куда вас занесло, откуда же в группе делители нуля?

nosochego в сообщении #872751 писал(а):

Вопрос:
$n(x-y) = 0$
Когда это равенство будет выполняться?

Почитайте про порядок элемента в группе, сразу выясните, когда это равенство выполняется. Потом посмотрите теорему Лагранжа, тоже пригодится.

[Sonic86]

AV_77 в сообщении #872822 писал(а):

Ого, куда вас занесло, откуда же в группе делители нуля?

Это у меня глюки из-за аддитивной записи операции.
С другой стороны, в $\mathbb{Z}_6^+$ имеем $2+2+2=0=2\cdot 3$. И если я правильно понимаю, то подгруппа кручения абелевой группы состоит из групп $\mathbb{Z}_m^+$, так что о кольце можно говорить Я ошибаюсь?

[Someone]

Sonic86 в сообщении #872834 писал(а):

так что о кольце можно говорить Я ошибаюсь?

В группе "по сложению" операции умножения нет. Умножение на целые числа — это "аддитивный" вариант возведения в степень. Обратите внимание, что целые числа не являются элементами аддитивной группы.

[AV_77]

Sonic86 в сообщении #872834 писал(а):

так что о кольце можно говорить Я ошибаюсь?

Это если очень условно. Конечно, циклическую группу можно рассматривать как аддитивную группу кольца вычетов, но умножение на целое число ("умножение" элемента группы на что-то внешнее, условная запись) и умножение элементов кольца (умножение элементов "внутри" кольца) несколько разные вещи..

[patzer2097]

AV_77 в сообщении #872840 писал(а):

умножение на целое число ("умножение" элемента группы на что-то внешнее, условная запись) и умножение элементов кольца (умножение элементов "внутри" кольца) несколько разные вещи..

конечно, поэтому абелевы группы отождествляют с модулями над $\mathbb{Z}$, и записи типа $n(x-y)=0$ не являются "условными" на этом языке